Wachstumsfunktion - Sättigungsgrenze eines Nadelbaumes

Question

Wachstumsfunktion:

Der Durchmesser eines Nadelbaumes wird in einer Höhe von 1,50m gemessen und annäherungsweise durch die Funktion beschrieben:

D in Meter [m], t in Jahre

Text erkannt:

\( D(t)=\frac{1}{1+e^{-0,045 *(t-50)}} \)

a) Bestimmen Sie den Anfangswert D(t=0) und die Sättigungsgrenze S(t -> + unendlich)

Mein Ansatz:

D(t=0) ≈0,095 m zum Zeitpunkt t₀   ist das richtig?

Wie ermittle ich den Sättigungswert? Vermute mal, es hat was mit dem Grenzwert zu tun aber wie genau weiß ich nicht.. kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

LG

Comments

eine weitere Frage:

zu bestimmen ist der Wendepunkt von D(t) und die Gleichung der Wendetangente.. da habe ich absolut keinen Schimmer..

Vielleicht die 2. Ableitung bilden.?

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@georgborn

Eine weitere Frage wäre:

Ein Nadelbaum hat einen Durchmesser von 0,45m. Bestimmen sie dessen Alter.

Ich würde die Funktion D(t)=0,45 gleichsetzen und nach t umstellen. Jedoch finde ich es schwierig da das t im Nenner ist..

Was wäre da die Vorgehensweise?

LG

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1 / [ 1 + e^(-0.045 * (t-50)) ] = 0.45
1 / 0.45 = 1 + e^(-0.045 * (t-50))
1 / 0.45 - 1 = e^(-0.045 * (t-50))

1.222 = e^(-0.045 * (t-50))   | ln
ln (1.222) = -0.045 * ( t - 50 )
-4.4553 = t - 50
t = 45.54 Jahre

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Verstehe, danke!

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gern geschehen.

Answer 1

lim t -> ∞
∞ - 50 = ∞

- 0.045 * ∞ = - ∞
e ^(-∞) = 0
1 + 0 = 1
1/1 = 1

Der Durchmesser geht gegen 1 m

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eine weitere Frage:

zu bestimmen ist der Wendepunkt von D(t) und die Gleichung der Wendetangente.. da habe ich absolut keinen Ansatz....

Vielleicht die 2. Ableitung bilden.?

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D ( t ) = 1 / [ 1 + e^(-0.045 * (t-50)) ]

Ohne GTR oder Matheprogramm wohl
nicht berechenbar
Wendepunkt ( 50 | 0.5 )
Steigung am Wendepunkt 0.01125

Tangente
0.01125 * 50 + b = 0.5
b = - 0.0625

Tangente ( t ) = 0.01125 * t - 0.0625

Die Aufgabe ist viel zu schwer.

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Ich danke vielmals. Hmm.. irgendwie muss es wohl gehen, dürfen nämlich keinen Taschenrechner benutzen und das auf eigene Faust hinkriegen

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Haben mir aber trotzdem weitergeholfen!

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zu Fuß geht es nicht.
Die 2.Ableitung ist eine
ellenlange Formel.
Ich mußte das Newtonsche Näherungs-
verfahren anwenden.

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Verstehe, ich danke Ihnen vielmals für Ihre Mühe!

Ich habe noch einen Kommentar verfasst weiter oben, könnten Sie sich den bitte mal anschauen? LG

Answer 2

a) ist richtig

D(t) geht gg 1 für x gg. +oo, da die e-Funktion gg, 0 geht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281%2Be%5E%28-0.045*%28t-50%29%29%29

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Danke für die Antwort.