Aloha :)
Um das Cauchy-Produkt zu verstehen, schauen wir uns zuerst mal das Produkt von zwei endliche Summen an:$$(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)\cdot(b_1+b_2+b_3+b_4+b_5)$$Zum Ausmultiplizieren haben wir gelernt, zuerst \(a_1\) mit allen \(b_k\) multiplizieren, dann \(a_2\) mit allen \(b_k\) usw. Die dabei entstehende Reihenfolge kann man sich bildlich so vorstellen:$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr|}& b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5\\\hline a_1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ a_2 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\a_3 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\a_4 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20\\a_5 & 21 & 22 & 23 & 24 & 25\\\hline\end{array}$$
Bei unendlich langen Summen bekommt man damit aber Probleme, weil man ja \(a_1\) mit unendlich vielen Summanden \(b_k\) multiplizieren muss. Man kommt so nie zum Anfang der \(a_2\)-Reihe. Daher hatte Cauchy die Idee, die Multiplikationsreihenfolge zu ändern. Statt horizontal zu multiplizieren, hat Cauchy diagonal multipliziert. Bei unserem endlichen Beispiel von oben wäre dann die Reihenfolge beim Ausmultiplizieren so:$$\begin{array}{r|rrrrrrrrrr|}& b_1 & b_2 & b_3 & b_4 & b_5\\\hline a_1 & 1 & 3 & 6 & 10 & 15\\ a_2 & 2 & 5 & 9 & 14 & 19\\a_3 & 4 & 8 & 13 & 18 & 22\\a_4 & 7 & 12 & 17 & 21 & 24\\a_5 & 11 & 16 & 20 & 23 & 25\\\hline\end{array}$$
Die Multiplikation von zwei unendlichen langen Summen kann durch diese Methode auf eine unendlich lange Summe von Produkten zurückgeführt werden. Wenn du genau hinsiehst, erkennst du, dass auf einer Diagonale die Summe der Indizes konstant ist:$$\text{Diagonale 1 }=\text{ Index-Summe } 2\colon\quad a_1b_1$$$$\text{Diagonale 2 }=\text{ Index-Summe } 3\colon\quad a_2b_1+a_1b_2$$$$\text{Diagonale 3 }=\text{ Index-Summe } 4\colon\quad a_3b_1+a_2b_2+a_1b_3$$$$\text{Diagonale 4 }=\text{ Index-Summe } 5\colon\quad a_4b_1+a_3b_2+a_2b_3+a_1b_4$$
Diese Idee wenden wir nun auf das Produkt der gegebenen unendlichen Summen an. Die Index-Summe auf der jeweiligen Diagonale sei \(n\). Sie fängt hier bei \(0\) an, weil beide Reihen mit Index \(0\) beginnen.$$\phantom{=}\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^\infty (-q)^k\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{i+j=n}q^i\cdot (-q)^j\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\sum\limits_{i=0}^nq^i\cdot (-q)^{n-i}\right)$$$$=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{i=0}^nq^i\cdot q^{n-i}\cdot(-1)^{n-i}=\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{i=0}^nq^n\cdot(-1)^{n-i}=\sum\limits_{n=0}^\infty q^n\sum\limits_{i=0}^n(-1)^{n-i}$$
Die innere Summe (über den Index \(i\)) ergibt \(1\), wenn \(n\) gerade ist und \(0\), wenn \(n\) ungerade ist. Wir können daher die äußere Summe über alle geraden \(n\) laufen lassen und die innere Summe weglassen. Wegen \(|q|<1\) ist auch \(q^2<1\) und wir können die Summenformel für die unendliche geometrische Reihe anwenden:$$=\sum\limits_{n=0}^\infty q^{2n}=\sum\limits_{n=0}^\infty (q^2)^n=\frac{1}{1-q^2}$$
Dasselbe Ergebnis hättest du auch direkt mit der geometrischen Reihe hinschreiben können, aber hier ging es ja darum, das Cauchy-Produkt zu verstehen. Der direkte Weg wäre gewesen:
$$\left(\sum\limits_{k=0}^\infty q^k\right)\cdot\left(\sum\limits_{k=0}^\infty (-q)^k\right)=\frac{1}{1-q}\cdot\frac{1}{1-(-q)}=\frac{1}{1-q}\cdot\frac{1}{1+q}=\frac{1}{1-q^2}$$Aber das ist zur Probe ganz gut ;)
