Geometrie - Südpolsatz, Winkelhalbierende, Mittelsenkrechte

Question

Kann mir jemand diesen Beweis genauer und einfacher erklären? Das ist doch der Südpolsatz oder?

Aufgabe:

In einem Dreieck schneiden sich die Mittelsenkrechte einer Seite und die Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis.

Problem/Ansatz:

Jetzt seien F und F′ die Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von AB mit der inneren und äußeren Winkelhalbierenden F′ von ∡ACB ≡ γ. Dann muß der Umkreismittelpunkt von △ABC auf der Geraden g(F, F’) liegen und irgendeine Strecke auf g gleich dem Durchmesser des Umkreises sein.

Nun ist  ∡FCF‘ = 90◦ ;somit geht der Thales-Kreis k über FF′ durch Eckpunkt C.

Gleichzeitig geht k durch A (und wegen der Symmetrie auch durch B) und AB ist somit gerade der Umkreis. Mithin liegen die Schnittpunkte F und F′ auf dem Umkreis.

Zeichnung:

Comments

1. CF ist die innere Winkelhalbierende
2. CF‘ ist die äußere Winkelhalbierende
3. Innere Winkelhalbierende und äußere ergeben einen rechten Winkel. In dem Fall liegt der bei C.
4. Die innere Winkelhalbierende schneidet den Umkreis in F
5. Die Strecke AF und BF sind gleich lang, da die zugehörigen Umfangswinkel ACF und FCB gleich sind
6. Da AF=FB ist, halbiert F den Bogen AB
7. Die Mittelsenkrechte (Gerade g) und innere Winkelhalbierende schneidet sich im selben Punkt F auf dem Umkreis
8. Die Dreiecke AFC und FCB haben den gleichen Unkreisradius (-> Umkehrung des Umfangwinkelsatzes)
9. Die beiden Kreise haben die Punkte C und F gemeinsam, das heißt die müssen gleich groß sein. Das können sie nur, wenn sie symmetrisch zu CF liegen oder identisch sind.
10. Die Mittelsenkrechte (Gerade g) ist ein Durchmesser von dem Kreis k, also geht g durch den Mittelpunkt des Kreises

Das ist alles was mit dazu eingefallen ist. Jedoch muss ich beweisen, dass A ∈ k ist, weiß aber nicht wie.

Answer 1

Die Mittelsenkrechte von AB ist Symmetrieachse des Kreises und auch von der Strecke AB selbst (warum?).

Damit ist der Bogen AF so lang wie der Bogen FB. Damit sind die Zentriwinkel AMF und FMB (M soll der nicht eingezeichnete Kreismittelpunkt sein) gleich groß.

Damit sind die zu diesen beiden Zentriwinbkeln gehörenden Peripheriewinkel ACF und FCB gleich groß.

Also ist CF Winkelhalbierende.