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Aufgabe 1 (Darstellung von linearen und affinen Unterräumen). Es sei \( V \) ein \( n \) -dimensionaler \( K \) -Vektorraum. Beweisen Sie die folgenden Aus-
sagen:
(a) Ist \( h: V \longrightarrow K \) eine von 0 verschiedene Linearform auf \( V \) und \( \beta \in K \), so ist die Menge
$$ H_{h, \beta}:=\{x \in V \mid \quad h(x)=\beta\} $$
eine Hyperebene von \( V \) mit Richtungsraum Kern \( h \).
(b) Ist \( H \) eine Hyperebene von \( V \) durch 0 , so existiert eine von 0 verschiedene Linearform \( h: V \longrightarrow K \) mit \( H=H_{h, 0} \)
(c) Sind \( h, h^{\prime} \) zwei Linearformen auf \( V \), so gilt:
Kern \( h= \) Kern \( h^{\prime} \Longleftrightarrow \) es existiert ein \( \mu \in K^{*} \) mit \( h=\mu h^{\prime} \)
(d) Ist \( H \) eine Hyperebene von \( V \), so gibt es eine von 0 verschiedene Linearform \( h: V \longrightarrow K \) und ein \( \beta \in K \) mit \( H=H_{h, \beta} \)
(e) Sind \( h, h^{\prime} \) zwei von 0 verschiedene Linearformen auf \( V \) und \( \beta, \beta^{\prime} \in K \), so gilt:
\( H_{h, \beta}=H_{h^{\prime}, \beta^{\prime}} \Longleftrightarrow \) es existiert ein \( \mu \in K^{*} \) mit \( h=\mu h^{\prime} \) und \( \beta=\mu \beta^{\prime} \)
Wie zeige ich das ?
