Bestimmen Sie eine Gleichung vom affinen Teil H \cap \mathbb{Q}^{3} .

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Betrachten Sie \( \mathbb{Q}^{3} \subseteq \mathbb{P}^{3}(\mathbb{Q}) \) mit der Inklusion \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mapsto\left(1: x_{1}: x_{2}: x_{3}\right) \). Sei \( H \subseteq \mathbb{P}^{3}(\mathbb{Q}) \) die Ebene durch die Punkte \( (1:-1: 2: 1),(0: 1: 1: 0) \) und \( (0: 0: 3:-2) \).
(a) Bestimmen Sie eine Gleichung vom affinen Teil \( H \cap \mathbb{Q}^{3} \).

Problem/Ansatz:

Ich habe für H die gleichung bestimmt

$$-9x_0-2x_1+2x_2+3x_3$$

Aber was genaz muss ich jetzt tun?

Answer 1

Die Gleichung für die projektive Hyperebene

in den homogenen Koordinaten \(x_0,x_1,x_2,x_3\) ist

\(-9x_0-2x_1+2x_2+3x_3=0\). Die angegebene Einbettung

des affinen \(\mathbb{Q}^3\) in den \(P^3(\mathbb{Q})\)

liefert dann die affine Ebene

\(H\cap \mathbb{Q}^3=\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{Q}^3:\; -2x_1+2x_2+3x_3=9\}\).

Man setzt einfach \(x_0=1\).