2. Ableitung einer Flächenfunktion

Question

Aufgabe:

gegeben ist  f(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) (x-t)*g(t)dt wobei g:ℝ→ℝ stetig ist.

Bestimme ob f''(x) existiert, wenn ja gib f''(x) an.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir zwei Ansätze überlegt, jedoch konnte ich mit beiden nichts weiter anfangen.

1. f'(x) = (x-x)*g(x) => f''(x) = ((x-x)*g(x))' = (x-x)' * g(x) + (x-x) * g'(x) = 0*g(x) + 0*g'(x) = 0 
  Daraus würde ich folgern, dass f''(x) nicht existiert. Doch ich zweifle an dessen Richtigkeit. Daher meine nächste Idee.

2. f'(x) = \( \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \) 

=> f''(x) = \( \frac{f'(x+dx)-f'(x)}{dx} \)

             = \( \frac{ \frac{f(x+dx+dx)-f(x+dx)}{dx} -   \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}}{dx} \)

             = \( \frac{f(x+2dx) -f(x+dx)-f(x+dx)+f(x)}{dx^2} \)

             = \( \frac{f(x+2dx) -2f(x+dx)+f(x)}{dx^2} \)

             = \( \frac{  \int\limits_{0}^{x+2dx} (x+2dx-t)*g(t)dt - 2 \int\limits_{0}^{x+dx} (x+dt-t)*g(t)dt + \int\limits_{0}^{x} (x-t)*g/t)dt } {dx^2} \)

Damit habe ich das Gefühl mich in einer Sackgasse zu befinden. Sinnhaftere Ansätze fallen mir da leider nicht ein.

Hat jemand eine Idee wie ich besser an diese Aufgabe heran gehen sollte?

Mit besten Grüßen
Chakly

Comments

Ich bin nun folgendermaßen vorgegangen:

f(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) (x-t)*g(t)dt

f'(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) (g(t) + (x-t)*g'(t)) dt

f''(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) (g'(t) + g'(t) + (x-t)*g''(t)) dt + g(x)

So habe ich es nach der Leibniz-Regel berechnet (die Terme mit 0 habe ich weggelassen und die 1 nicht aufgeschrieben), nun wollte ich weiter das Integral berechnen. Nur will es mir nicht gelingen (x-t)*g''(t) aufzuleiten. Nun wenn ich mir die Lösung von lul anschaue erscheint es mir falsch, was ich tat.

Verstehe ich es richtig, dass ich g(t) nicht ableiten muss, sondern es wie eine Konstante zu behandeln habe?

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Die Lösung mit der Leibniz-Regel sollte sein:

f(x) = \(\int\limits_{0}^{x} \) (x-t)*g(t) dt

f'(x) = \( \int\limits_{0}^{x} \) (1*g(t) - 0*g(t)) dt + 0*(x-0)*g(t) - 1*(x-x)*g(t) =\( \int\limits_{0}^{x} \) g(t) dt

=> f'' = g(x)

Answer 1

Hallo

in dem Spezialfall braucht man die Leibnitzregel nicht.

schreibe um:$$\int \limits_{0}^{x}(x-t)*g(t)=x*\int \limits_{0}^{x}g(t)dt -\int \limits_{0}^{x}t*g(t)dt \text{ dann }$$

$$\frac{d}{dx}\int \limits_{0}^{x}t*g(t)dt =-x*g(x)\text{ und nach Produktregel }$$

$$\frac{d}{dx}(x*\int \limits_{0}^{x}g(t)dt)=1*\int \limits_{0}^{x}g(t)dt+1*x*g(x){ insgesamt bleibt für f' nur } $$

$$f'=\int \limits_{0}^{x}g(t)dt \text{  damit } f''(x)=g(x)$$

Gruß lul

Comments

Vielen Dank, für deine ausführlich Antwort :)
Das ist nun etwas einfacher, wie ich es gemacht habe, oder machen wollte, wenn es denn geklappt hätte.

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Es schadet ja nichts Leibniz anwenden zu üben, du hast ja jetzt eine einfache Kontrolle

lul

Answer 2

Unter dem Stichwort: "Ableitung eines Parameterintegrals" oder auch "Leibnizregel" findest Du im WEB alles, Regel und Beispiele

Gruß Mathhilf

Comments

Vielen Dank, damit sollte ich hinbekommen :)

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Hallo chakly: Wenn möglich noch deine Umsetzung des obigen Rats für die Nachwelt posten als Kommentar du dieser Antwort. Dann schaut vermutlich gelegentlich noch jemand drüber.