Wann sinkt die Wachstumsrate auf 500 000 Personen/Jahr?

Question

Aufgabe:

Ein Land besitzt 60 Millionen Einwohner. Die Wachstumsrate beträgt zu Beginn 1 Mio.

Personen/Jahr und nach 5 Jahren 0,951 Mio. Personen/Jahr.

Es wird angenommen, dass die Wachstumsrate gemäß der Funktion N´(t) = a e ^{–b t} verläuft.

a) Wann sinkt die Wachstumsrate auf 500 000 Personen/Jahr?

b) Wie groß ist die durchschnittliche Wachstumsrate der ersten 50 Jahre?

c) Welcher Bevölkerungszuwachs wird im zweiten Jahrzehnt der Beobachtung erzielt?

Problem/Ansatz:

a) N`(t)

Comments

A propos Einwohnerzahl:

Im Vatikan gibt es vier Päpste pro Quadratkilometer.

Answer 1

Um die Parameter a und b der Wachstumsrate zu finden, muss man das Gleichungssystem

1000000 = a e ^{-b * 0}

951000 = a e ^{-b * 5}

lösen. Es ergibt sich N'(t) = 1000000 e ^{-0.0100482 t}

(exakter Wert für b = \( \frac{1}{5} \ln \frac{1000}{951} \)).

a)

Die Lösung von \( 1000000 \, e^{-0.0100482 t}=500000 \) ist knapp 70, d.h. es geschieht im 70. Jahr.

b) / c)

Für den Bevölkerungsbestand kommt mein CAS auf das Integral

\( \frac{5000000\left(-10^{-\frac{3 t}{5}} \times 951^{t / 5}+1+12 \ln \left(\frac{1000}{951}\right)\right)}{\ln \left(\frac{1000}{951}\right)} \)

Comments

Kann man nicht auch bei a) N'(t)=0,5 rechnen und dann nach t auflösen?

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Das würde ich nicht tun. Mit "Wachstumsrate" ist hier ja das absolute Wachstum (in Anzahl Menschen) in einem bestimmten Jahr gemeint.

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Die Wachstumsrate beträgt nach 0 Jahren 1 Mio. Personen/Jahr und nach 5 Jahren 0,951 Mio. Personen/Jahr.

Answer 2

Einheit für Bevölkerung: 1 Mio.

Setze (0|1) und (5|0,951) in N´(t) = a e ^{–b t} ein. Du erhältst a=1 und b≈0.01.

a) N'(t)=e^-0.01t. Löse 0,5=e^-0.01t nach t auf: t≈69 Jahre.

Comments

Warum (0|1) und (5|0.951) ?

Und wie kommt man auf die 0.5??

Sorry aber ich verstehe es nicht ganz

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Die Wachstumsrate beträgt nach 0 Jahren 1 Mio. Personen/Jahr und nach 5 Jahren 0,951 Mio. Personen/Jahr.

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Und die 0.5 ?

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Meine Einheit für Bevölkerung ist 1 Mio. Dann sind 500 000 = eine halbe Einheit.