Hallo,
(a) Hat jeder Primzahlzwilling die Form (6n − 1, 6n + 1) für eine natürliche Zahl n?
Ein Gegenbeispiel ist (3, 5). Es ist aber auch das einzige Gegenbeispiel.
Betrachte die ungeraden Zahlen ab 5:
5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,...
Jede dritte Zahl ist durch 3 teilbar. Wenn ich die weglasse, erhalte ich:
5,7, 11,13, 17,19, 23,25, ...
Das sind potentielle Kandidaten für Primzahlzwillinge. Es fällt auf, dass die Mittelwerte der Paare 6,12,18,24,..., also Vielfache von 6 sind. Damit haben die Primzahlzwillinge ab (5,7) die genannte Form.
(d) Zeigen Sie, dass es kein Tripel von Primzahlen der Form (p, p + 2, p + 4) mit p > 3 gibt.
Da p>3 ist, hat der Primzahlzwilling (p,p+2) die Form (6n-1,6n+1).
Dann ist p+4=6n+3=3*(2n+1) keine Primzahl.
:-)
(c) Geben Sie einen Algorithmus an, der für jede natürliche Zahl ℕ alle Primzahlzwillinge (p, p + 2) mit p + 2 ≤ N auflistet. Bestimmen Sie damit alle Primzahlzwillinge unter 200.
Mein selbst geschriebenes Python-Programm:
maxi=200
print('Primzahlen von 1 bis ',maxi)
primzahlen=[2,3] # Liste der Primzahlen
n=2 #Anzahl der gefundenen Primzahlen
zahl=5
delta=2
while zahl<=maxi:
istprim=True
for p in primzahlen:
if zahl%p==0: # Rest bei Ganzzahldivision
istprim=False
break
if p*p>zahl:
break
if istprim==True:
primzahlen.append(zahl) # Zahl zur Liste hinzufügen
n=n+1
zahl=zahl+delta
delta=6-delta # abwechselnd 2 und 4
print('Es gibt ',n,' Primzahlen von 1 bis ',maxi)
print(primzahlen)
print('Primzahlzwillinge:')
i=0
for z in primzahlen:
if z+2 in primzahlen:
i=i+1
print(i,'-->',z,z+2)
:-)
