zwei Gerade in der Ebene

Question

Aufgabe:

Stelle die Gleichung der geraden g[A,B],h[C,D], auf. Ermittele die gegenseitige Lage der Geraden g und h und berechne, wenn möglich den Schnittpunkt und Schnittwinkel.

A(-1/3),B(3/4),C(-2/4),D(2/0)

Answer 1

AB = B - A = [3, 4] - [- 1, 3] = [4, 1]

g: X = A + r·AB
g: X = [- 1, 3] + r·[4, 1]

CD = D - C = [2, 0] - [-2, 4] = [4, - 4]

h: X = C + r·CD
h: X = [- 2, 4] + s·[4, - 4]

Da die Richtungsvektoren der Geraden linear unabhängig sind, schneiden sich die Geraden. Um den Schnittpunkt zu ermitteln, setzen wir die Geraden gleich.

g = h
[- 1, 3] + r·[4, 1] = [- 2, 4] + s·[4, - 4]

Man erhält das Gleichungssystem

-1 + 4·r = -2 + 4·s → 4·r - 4·s = - 1
3 + r = 4 - 4·s → r + 4·s = 1

I + II
5·r = 0 → r = 0

0 + 4·s = 1 → s = 1/4 = 0.25

S = [- 1, 3] + 0·[4, 1] = [- 2, 4] + 1/4·[4, - 4] = [- 1, 3]

Jetzt berechnen wir noch den Schnittwinkel

α = ARCCOS( |[4, 1]·[4, - 4]| / (|[4, 1]|·|[4, -4]|) )
α = ARCCOS( 12 / (√17·√32) )
α = 59.04°