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$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\sin(2x)+1\right)\,dx=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(2x)\,dx+\int\limits_{-\pi}^\pi1\,dx$$
1) Integrieren mittels Symmetrie:
Ich weiß nicht, wie geübt du bist. Das erste Integral über \(\sin(2x)\) ergibt \(0\), weil die Sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Urpsrung ist. Das heißt im Intervall \([-\pi;0]\) ist das Integral vom Betrag genauso groß wie im Intervall \([0;\pi]\), aber das Vorzeichen ist entgegengesetzt.
Beim zweiten Integral wird über \(1\) integriert. Da \(1\) achsensymmetrisch zur \(y\)-Achse ist, ist das Integral über \([-\pi;0]\) vom Betrag und vom Vorzeichen her gleich dem Integral über \([0;\pi]\).
Mit Hilfe dieser Symmetrie-Überlegung kannst du das Integral also sofort hinschreiben:$$I=2\cdot\int\limits_0^\pi1\,dx=2\cdot\left[x\right]_0^\pi=2\pi$$
2) Integration mit Substitution:
Wenn du die Symmetrie nicht nutzen möchtest, kannst du natürlich auch die Bauern-Methode verwenden:$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}\sin(2x)\,d(2x)+\int\limits_{-\pi}^\pi1\,dx=\frac{1}{2}\left[-\cos(2x)\right]_{-\pi}^\pi+\left[x\right]_{-\pi}^\pi$$$$\phantom{I}=\frac{1}{2}\left[-\cos(2\pi)+\cos(-2\pi)\right]+\left[\pi-(-\pi)\right]=2\pi$$
