Wie kann ich nun das Volumen des entstehenden Rotationskörpers berechnen?

Question

Aufgabe:

Volumen eines Körpers:

Die von der Normalparabel und der Geraden zu y= 1 eingeschlossenen Fläche rotiert um die x-Achse.

Wie kann ich nun das Volumen des entstehenden Rotationskörpers berechnen?

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hello,

meine Idee wäre einmal das Rotationsvolumen der Geraden um die x Achse zu berechnen und dann das Rotationsvolumen der Parabel um die x-Achse und am Ende Subtrahierst du das Volumen des Zylinders vom "Volumen des Rotationskörpers der Parabel"

Die Integrationsgrenzen sind entsprechend 0 bis 1 (Wegen Schnitstelle von Parabell und Gerade) und dann multiplizierst du entsprechend am Ende noch dein Volumen mal 2, weil deine Parabel und Gerade ja auch im 4 Quadrate werte annimmt aber Achsensymmetrisch sind und somit einfach das doppelte Volumen nehmen kannst.

Comments

Komme auf 2/5 *pie

Also = ca. 1,26

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Naja du hast ja einmal das Volumen deiner rotierenden Gerade: Das ist ja ein Zylinder der Länge 1 und Radius 1 d.h. das Volumen ist Pi, dann das Volumen deiner Parabel ist pi * Integral von 0 bis 1 von x^4 = pi*1/5

So pi-1/5*pi = 4/5 pi und jetzt noch mal 2 ist dann 8/5 Pi

Findest du deinen Rechenfehler?

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Warum ist der Radius des Zylinders 1 und wie kommst du dann auf das Volumen pi?

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Naja die Formel lautet ja Pi* Integral von a bis b deiner Funktion (f(x))^2

Für die Gerade heißt das Pi*Integral von 0 bis 1 deiner Funktion 1^2 = [1-0]*pi also gleich pi und die andere Rechnung habe ich dir ja dahin geschrieben.

Also die Formel müsstest du ja kennen, die Integrationsgrenzen sind die klar?

AM besten du zeichnest dir das mal auf. Dein Zylinder ist ja nich hochkannt sonder längs auf den "Boden gelegt", damit ist deine Funktion y=1 der Radius, die Intergartionsgrenze also von 0 bis 1 die Höhe deines Zylinders also h=1

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Ah okay. Ja, das habe ich verstanden. Mir bleibt es jedoch noch unklar, wie du auf 4/5 pi kommst. Wenn ich das Integral ausrechne, dann kommt bei mir 1/5-0 heraus. Dieses nehme ich dann *2, woraufhin ich das Ergebnis 2/5 erhalte. Dass dann mal pi.

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Naja 1/5 stammt ja von deinem Integral der Parabel oder? Aber du willst ja nicht das VOlumen deiner Rotierenden Prabel, sondern deiner Fläche, die von der Geraden und der Parabel eingeschlossen wird und davon das Volumen.

Das heißt also du hast wie du das auch von der Flächenberechnung kennst erst das eine Intergal berechnet( in diesem Fall das Intergal deiner Gerade) mit der x-Axhse und ziehst dann das kleiner Intergal ( in diesem Fall das Intergal deiner Parabel) von einander ab um gerade dieses eingeschlossene STück zu erhalten. Genau das gleiche gilt auch bei der Volumenbrechnen.

Deswegen das Volumen deiner Geraden pi minus das Volumen deiner Parabel 1/5 pi um gerade dieses eingeschlossene Volumen 4/5 pi zu erhalten :D

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Ah, klar. Daran habe ich nicht gedacht. Danke dir :)

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Gerne, falls sich nochmal Unklarheiten ergeben, frag einfach :)

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Kurrzen Anliegen noch. Ich muss diese Rechnung aber mit dem Betrag rechnen, da sonst das Ergebnis negativ wäre, korrekt?