Funktionefolge konvergiert gleichmäßig gegen f und punktweise gegen g im Komplexen. Ist f=g?

Question

Aufgabe:

Sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) eine Folge von Funktionen \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} \). Es konvergiere \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gleichmäßig gegen eine Funktion \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} \) und punktweise gegen \( g:[0,1] \rightarrow \mathbb{C} \). Ist dann \( f=g \) ?

(Beweis oder Gegenbeispiel)

Problem/Ansatz:

Gerade habe ich nur Funktionenfolgen innerhalb der Reellen Zahlen mir angeschaut, mir fehlt gerade das nötige wissen um meinen Ansatz für dieses Problem zu erstellen. Gerade fällt mir nur intuitiv ein, dass es ein Gegenbeispiel geben sollte. Nur war das nur lange her, dass ich so ein Problem gelöst habe.

Ich freue mich auf eure Hilfe.

Comments

Hallo,

ich habe das Gefühl, bei der Aufgabe fehlt noch eine Info. So ist es doch trivial: Aus gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise Konvergenz und der Grenzwert bei punktweiser Konvergenz ist eindeutig.

Oder?

Gruß Mathhilf

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Sollte dann die gleichmäßige konvergenz dann nicht eindeutig sein? Immerhin kann man den Rückschluss nicht aussagen. Noch verstehe ich das nicht mit der Hilfe von dir.

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Ich meine, es ist trivial, dass f=g ist. ich finde das trivial und frage mich, was der Sinn und Zweck der Aufgabe ist. Aber vielleicht soll es trivial sein.

Vielleicht so das auch der Hinweis sein: Wenn nach gleichmäßiger Konvergenz eine Funktionenfolge gefragt ist, wird man im allgemeinen zunächst die Frage der punktweisen Konvergenz klären.

Gruß Mathhilf