Untersuchen Sie, ob die Funktionsfolge punktweise und/oder gleichmäßig konvergiert

Question

Gegeben Sei die Funktionenfolge   f_n:  ℝ→ℝ,  (x,y) ↦  (x²ⁿ ) / ( x²ⁿ+1)        für alle n∈N₀ 

Untersuchen Sie, ob die Funktionsfolge punktweise und/oder gleichmäßig konvergiert.

Geben Sie im Falle der Konvergenz die Grenzfunktion f(x) an.

Answer 1

Für alle n ist f_n(0)=0  konvergiert hier also punktweise gegen 0.

Für |x| < 1 geht x^(2n) gegen 0 , also konvergiert f_n(x) hier auch gegen 0.

Für x > 0 forme um zu fn(x) = 1 / ( 1 + 1/x^(2n) ). Das konvergiert gegen 1.

Also ist die Grenzfunktion

f(x) =    0   für | x | ≤ 1   und f(x) = 1 sonst.

Die ist nicht stetig, die f_n allerdings schon. Somit keine gleichmäßige

Konvergenz.

Answer 2

Hallo

untersuche für x<=1, x>1 und x=0 dann siehst du dass eine unstetige Grenzfunktion entsteht, also nicht glm .konvergent. Die punktweise Konvergenz für die 3 Gebiete ist leicht zu zeigen, wenn du durch x^2n kürzt.

Gruß lul