punktweise konv. F.Folge aber nicht gleichmäßig

Question

Aufgabe:

1)Geben Sie eine Funktionenfolge f_n : [0, 1] → R an, welche punktweise gegen 0 konvergiert, aber nicht lim n -> ∞ ₀ ∫¹ f(x) dx = 0 erfüllt.

2) Geben Sie eine Folge von stetigen Funktionen an, die auf dem Intervall [0, 1] punktweise, aber nicht gleichmässig konvergieren.

Mein Ansatz:

ich dachte für gleichmässige Konvergenz sind punktweise Konvergenz und lim n -> ∞ ₀ ∫¹ f(x) dx ≠ 0 gefordert, daher ist nur eine Funktionenfolge gesucht, die punktweise Konvergiert nicht glm. (bin mir aber wegen dem bespiel unten nicht ganz sicher)

zu 1) dachte ich an fn(x) = nx/(n^2x^2+1)

punktweise Konvergenz liegt vor, gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall, aber für Lim integral geht die Funktion gegen 0, daher doch nicht.

-alle Funktionen, die mir bis jetzt eingekommen sind, erfüllen entweder eine Anforderung nicht, oder ich müsste das Intervall auf (0,1] anpassen, was auch nicht der Aufgabe entspricht.

Vielen Dank ^^

Comments

ich dachte für gleichmässige Konvergenz sind....

"Gleichmäßige Konvergenz" hat eine eigene Definition, die zunächst nichts mit Integralen zu tun hat. Diese solltest Du zunächst nachschlagen.

Es gibt allerdings einen Satz, dass bei gleichmäßiger Konvergenz einer stetigen Funktionenfolge auf einem endlichen Intervall Integral und Grenzwert vertausch werden können.

Du hast als Beispiel die Folge

$$f_n(x):=\frac{nx}{1+n^2x^2}$$

vorgeschlagen (wenn ich das richtig gedeutet habe). Fragen:

- Konvergiert die Folge punktweise? Wenn ja, wogegen?

- Konvergiert die Folge gleichmäßig?

- Was ist der Wert der Integrals über \(f_n\)?

- Konvergiert dies für (n \to \infty\)?

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erstmal danke,

-ich weiß die Definition von gleichmäßiger Konvergenz, ich dachte jedoch, dass man aus punktweiser Konvergenz und dem lim Integral ≠0, gliechmäßige Konvergenz implizieren kann.

-die Folge konvergiert punktweise gegen f(x)=0

-im Intervall [0, 1/2] glm. Konvergenz jedoch im Intervall [0,1] nicht

-der Wert des Integrals über fn entspricht  $$ \frac{1}{2n} ln(n^2 + 1) $$, dies wird für

n->infinity =0

-> also ist die Integraleigenschaft nicht erfüllt

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Kannst Du Deine Aussage zur gleichmäßigen Konvergenz begründen?

Ich würde sagen:

$$\max\{|f_n(x) \mid x \in [0,1]\} \geq f_n(\frac{1}{n})=\frac{1}{2} \not \to 0$$

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genau so hab ich es auch begründet, und das 1/n das Maxima ist, habe ich auch davor berechnet.

$$ \begin{gathered} f(x)=0 \\ d\left(f_n, f\right)=\sup _{x \in[0,1]}\left|f_n(x)-f(x)\right|<\varepsilon \\ =\sup \left|f_n(x)\right|=\frac{1}{2} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} \neq 0 \end{gathered} $$

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Aber das heißt doch, dass f_n auf keinem Intervall gleichmäßig konvergent, das die 0 enthält.

Answer 1

Diese Funktionenfolge konvergiert punktweise gegen 0, aber das Integral ist für jedes n von 0 verschiedenen.

Comments

Ich sehe da eher, dass die Funktionenfolge im Nullpunkt gegen "Unendlich" geht.

Ob jedes einzelne Integral von 0 verschieden ist, ist doch nicht gefragt - oder?

Answer 2

Hier ist ein Standardbeispiel für 1) und 2) zusammen:

$$f_n(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2n^2x & 0\leq x \leq \frac 1{2n} \\ 2n-2n^2x & \frac 1{2n}\leq x \leq \frac 1{n} \\ 0 & \frac 1{n}\leq x \leq 1 \end{array}  \right.$$

Die Graphen kannst du dir hier anschauen.

Das Integral ist gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks:

$$\int_0^1f_n(x)\, dx = \frac 12 \cdot \frac 1n \cdot n = \frac 12$$

Answer 3

Hallo moonpie178,

ich antworte bischen spät, aber ich habe auch zwei Beispiele für Dich, die echt simpel sind :).

(Zuerst einmal zwei Fakten: Eine Funktionenfolge (f_n) konvergiert gleichmässig gegen eine Funktion f, falls: lim (n—>inf) sup{f_n(x) - f(x) : x ∈ [a,b]}). Wenn eine Funktion gleichmäßig konvergiert, dann auch punktweise)

Nun zur Aufgabe:

a). Für a) kannst Du die Funktionenfolge

f_n : [0,1] —> R, f_n(x) := 1/(n+x) wählen. Man sieht leicht f_n ist für alle n, stetig.

Dann gilt:

sup{f_n(x) : x ∈ [0,1]} = sup{1/(n+x) : x ∈ [0,1]}

= 1/n —> 0 füe n —> unendlich.

D.h. f_n konvergiert gleichmäßig gegen die Nullfunktion und damit auch punktweise.

Jedoch ist das Integral von f_n (x) gerade ln(1+n) und für n —> unendlich geht das gegen unendlich und somit nicht gegen 0.

b). Für b) wählst Du dann f_n : [0,1] —> R als f_n(x) := x^n -1. Diese ist für alle n stetig und konvergiert gleichmässig gegen die Nullfunktion, denn es gilt

sup{ f_n (x) : x ∈ [0,1]} = sup{x^n -1 : x ∈ [0,1]} = 0 —> 0 für n —> unendlich, da x^n ≤ 1 für alle x ∈ [0,1] gilt.

Jedoch konvergiert sie gegen die Funktion f : [0,1] —> R, f(x) := { -1 für x ≠ 1, 0 für x = 1. Denn x^n ist für x ≠ 1 (d.h. < 1) eine Nullfolge und für x = 1 ist x^n = 1 und geht auch gegen 1. Jedoch ist f nicht die Nullfunktion. Damit konvergiert f_n punktweise, aber nicht gleichmäßig gegen f.