Definieren Sie die Verknüpfungen ‘Subtraktion’ und ‘Division’ auf einem Körper (K,+, *)

Question

Aufgabe:

Definieren Sie die Verknüpfungen ‘Subtraktion’ und ‘Division’ auf einem Körper (K,+, *) .Es seien a,b,c,d Elemente in K mit b,d $$\neq$$ 0. Zeigen Sie, dass

$$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a*b-b*c}{b*d}$$

$$\frac{a}{b}/\frac{d}{c}=\frac{a*c}{b*d}$$

indem Sie nur die Axiome der Arithmetik und Ihre Definitionen anwenden.

Hallo kann mir jemand helfen diese aufgabe zu lösen bekomme sie nicht hin. :)

Comments

Was sind deine Versuche? Subtraktion ist das Inverse von Addition, entsprechend division das inverse von Multiplikation also a-a=0  a*1/a=1

Gruß lul

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Hier wird aber doch wohl was aus KxK definiert ???

Answer 1

\(\large{zu\ zeigen:\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a*d-b*c}{b*d}}\\ \\ \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=a*(b^{-1})-c*(d^{-1})\\~~~~~~~~~~~~=a*(b^{-1})*1-c*(d^{-1})*1\\~~~~~~~~~~~~=a*(b^{-1})*(d^{-1})*d-c*(d^{-1})*(b^{-1})*b\\~~~~~~~~~~~~=a*d*(b^{-1})*(d^{-1})-c*b*(b^{-1})*(d^{-1})\\~~~~~~~~~~~~=(a*d-b*c)*(b^{-1})*(d^{-1}) \\~~~~~~~~~~~~= (a*d-b*c)*(b*d)^{-1}\\~~~~~~~~~~~~=\frac{a*d-b*c}{b*d} \)

\(\large{zu\ zeigen:\ \frac{a}{b}/\frac{d}{c}}=\frac{a*c}{b*d}\\ \\ \frac{a}{b}/\frac{d}{c} =a/b *(d/c)^{-1}\\~~~~~~~~= (a * b^{-1}) * (d * c^{-1})^{-1}\\~~~~~~~~=a * b^{-1} * d^{-1} * c\\~~~~~~~~=a*c*b^{-1}*d^{-1}\\~~~~~~~~=a*c*(b*d)^{-1}\\~~~~~~~~=\frac{a*c}{b*d} \)

Comments

Bei Teil 1 musst du natürlich erstmal das Zeichen " - "  definieren bevor du es benutzt und gar das unbewiesene Distributivgesetz mit ihm ausführst.

Mögliche Definition : " Die Lösung der Gleichung b + x =  a   wird mit a - b   bezeichnet "
(Die Existenz und Eindeutigkeit dieser Lösung sind ggf. nachzuweisen.)

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Hallo

da K ja ein Körper sein soll gibt es das multiplakative und additive Inverse und  und man kann Subtraktion als Addition des inversen usw. definieren. Da das Distributiv un Assotiativgesetz für + und * schon klar sind ist dann viel weniger zu beweisen.

lul