Spiegelung an Diagonalen

Question

habt ihr vielleicht eine Idee, wie man eine beliebige komplexe Zahl an einer allgemeinen Diagonalen (2x+ix) spiegeln kann?

Ich habe schon versucht, dass über Polarkoordinaten mit dem Winkel zu machen, aber da hier ja kein fester Winkel gegeben ist, ein ich hier nicht so recht weiter:(

VG

Answer 1

Hallo,

habt ihr vielleicht eine Idee, wie man eine beliebige komplexe Zahl an einer allgemeinen Diagonalen (2x+ix) spiegeln kann?

Ja - über eine lineare Abbildung. Wenn der Winkel der Diagonalen zur X- bzw. reelen Achse \(=\alpha\) ist, dann ist die zugehörige Spiegelmatrix \(S\):$$S = \begin{pmatrix}\cos(2\alpha)& \sin(2\alpha)\\ \sin(2\alpha)& -\cos(2\alpha)\end{pmatrix}$$In dem Fall von $$d: \quad y = (2+ i) x$$ ist $$\tan(\alpha) = \frac 12 \quad \implies \cos(2\alpha) = \frac 35, \quad \sin(2\alpha) = \frac 45$$Siehe Doppelwinkelfunktionen.

Und die Spiegelung \(z'\) eines Punktes \(z=a+bi\) in der komplexen Zahlenebene ist dann $$\begin{aligned}z' &= \begin{pmatrix} 1& i\end{pmatrix}\frac 15\begin{pmatrix}  3  &    4 \\    4  & -3  \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\ b\end{pmatrix}  \end{aligned}$$

Comments

vielen Dank für die Antwort. Das hat mir sehr geholfen:)

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