Zeigen Sie, dass 2x + 3y = 5 genau dann, wenn es ein t gibt, sodass (x,y) = (1,1) + (3, -2)t.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass 2x + 3y = 5 genau dann, wenn es ein t gibt, sodass (x,y) = (1,1) + (3, -2)t.

Problem/Ansatz:

Ich bin sehr verwirrt von dem hinteren Teil der Aufgabe, da ich diese Form so noch nicht gesehen hatte (bzw. sie in der Vorlesung noch nicht vorkam).
Vielleicht ist es komplett falsch, aber kann ich das so umformen?

(x,y) = (1,1) + (3,-2)t = (1,1) + (3t,-2t) = (1+3t, 1-2t)?

Falls es falsch ist, dann fehlt mir leider jegliche Idee, wie ich hier vorgehen könnte.

Ich freue mich über jeden Tipp!

Answer 1

Aloha :)

Die Koordinatengleichung können wir nach \(x\) umstellen:$$2x+3y=5\quad\Longleftrightarrow\quad x=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}y$$Die Punkte auf der Geraden haben daher die Ortsvektoren:

$$\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}-\frac{3}{2}y\\y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}\\0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\1\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}\\0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\1\end{array}\right)+(y-1)\left(\begin{array}{r}-\frac{3}{2}\\1\end{array}\right)$$$$\phantom{\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)}=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\\0+1\end{array}\right)-\frac{(y-1)}{2}\left(\begin{array}{r}3\\-2\end{array}\right)$$

Wir können jedes \(y\in\mathbb R\) durch ein passendes \(t\coloneqq-\frac{y-1}{2}\in\mathbb R\) ersetzen, sodass:$$\binom{x}{y}=\binom{1}{1}+t\binom{3}{-2}$$