Aufgabe:
ich sitze gerade an folgender Aufgabe:
Sei X ~ N(0,1). Zu zeigen: X^2 hat die Dichte: (der $\chi^2(1)$-Verteilung)
\( f_{n}(x)=\frac{1}{2^{n / 2} \Gamma(n / 2)} x^{n / 2-1} e^{-x / 2} 1_{x>0} \)
für n=1.
Problem/Ansatz:
Ich habe mir überlegt, dass gilt: $ f_1(x) = 1 / \sqrt{2 \pi x e}$ und die Dichte der Normalverteilung für X^2 gegeben ist durch:
$g(x) = 1 / \sqrt{2 \pi} e^{-x^4/2}$
Dann habe ich die Differenz gebildet und wollte zeigen, dass die gleich Null ist.
Nach Äquivalenzumformung kam ich auf $x^{-1/2} -e^x^4 = 0} und habe das mit dem Heronverfahren gelöst. Als Lösung kam aber 0,6693 raus.
Habe ich bereits einen falschen Ansatz oder irgendwo einen Denkfehler? Über hilfreiche Ratschläge würde ich mich sehr freuen!
Vielen Dank schonmal!
Soyyo
