Hallo,
der erste Punkt ist es, die Linearität auszunutzen: \(A(x)-A(x_0)=A(x-x_0)\). Der zweite und wesentliche Punkt ist folgende Abschätzungsaussage zu zeigen (ich verstehe die Aufgabe so, dass |.| die euklidische Norm bezeichnet.):
$$\exist c>0: \forall x \in \mathbb{R}^n: |A(x)| \leq c |x|$$
Dazu sei y:=A(x), dann ist
$$|y|^2=\sum_{i<=1}^ny_i^2=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j \right)^2$$
Weiter geht es mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
$$|y|^2 \leq \sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j}^2 \sum_{j=1}^n x_j^2 \right)= \left(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2\right) |x|^2$$
Also gilt die gesuchte Ungleichung mit
$$c=\sqrt{\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2}$$
Zurück zum Stetigkeitsbeweis: Wenn \(x-x_0< \delta\) ist ,dann gilt
$$|A(x)-A(x_0)=|A(x-x_0)| \leq c |x-x_0|<c \delta$$
Wenn also \(\epsilon\) gegeben ist, kann man ein passendes \(\delta\) bestimmen ...
Gruß Mathhilf
