aussagen begründen ganzrationale funktion

Question

Aufgabe:

Jede ganzrationale Funktion vom Typ f(x)=x^3+bx ist für b >0 im ganzen Definitionbereich monoton wachsend.

2) der Wendepunkt des Graphen von f(x)=ax^3+cx+d liegt stets auf der y-Achse

Answer 1

Jede ganzrationale Funktion vom Typ f(x)=x³+bx ist für b >0 im ganzen Definitionbereich monoton wachsend.

Wenn f'(x) ≥ 0 für jedes x ist, dann ist f monoton wachsen.

Prüfe also, ob f'(x) ≥ 0 im ganzen Definitionbereich ist.

2) der Wendepunkt des Graphen von f(x)=ax³+cx+d liegt stets auf der y-Achse

Der Graph der Funktion g(x)=ax³+cx ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Das sagt etwas über den Wendepunkt aus.

Der Graph der Funktion f ist gegenüber des Graphen von g vertikal um d verschoben.

Selbverständlich kannst du alternativ auch mittels der Nullstelle der zweiten Ableitung argumentieren.

Answer 2

1.) f(x)=x^3+bx mit b >0

f´(x) =  3*x^2+b ist immer positiv durch das x^2

2.) f(x)=ax^3+c x +d

f´(x)=3ax^2+c

f´´(x)=6ax

6ax =0

x=0  →f(0)=d