Aloha :)
Injektivitiät bedeutet ja, dass jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal getroffen wird. Wir nehmen daher an, es gibt zwei Elemente \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) aus der Definitionsmenge, die denselben Zielwert haben:$$f(x_1;y_1)=f(x_2;y_2)\implies\binom{x_1+y_1}{x_1-y_1}=\binom{x_2+y_2}{x_2-y_2}$$
Wir addieren die Gleichungen für die 1-te und die 2-te Koordinate:$$(x_1+y_1)+(x_1-y_1)=(x_2+y_2)+(x_2-y_2)\implies 2x_1=2x_2\implies x_1=x_2$$
Wir subtrahieren die Gleichung für die 2-te von der für die 1-te Koordinate:$$(x_1+y_1)-(x_1-y_1)=(x_2+y_2)-(x_2-y_2)\implies 2y_1=2y_2\implies y_1=y_2$$
Es gibt also keine zwei verschiedenen Elemente \((x_1|y_1)\) und \((x_2|y_2)\) aus der Definitionsmenge, die dasselbe Ziel haben. Jeder Zielwert wird höchstens 1-mal erreicht. Die Funktion ist daher injektiv.
