Implizit differenzierbare Funktion: x^4·y + e^{x·y} = x. Suche y' an der Stelle (x, y) = (1, 0).

Question

Es sei y implizit als Funktion von x definiert durch die Gleichung

x^4·y + e^{x·y} = x

Bestimmen Sie y' an der Stelle (x, y) = (1, 0).

Answer 1

Es sei y implizit als Funktion von x definiert durch die Gleichung

x⁴·y + e^x·y = x

Bestimmen Sie y' an der Stelle (x, y) = (1, 0).

x⁴·y + e^x·y = x           |Links und rechts nach x ableiten
4x^3 * y + x^4 * y' + e^{xy} * (y + xy') = 1                |nach y' auflösen

4x^3 * y + x^4 * y' + y e^{xy} + y' xe^{xy} = 1 

y' (x^4 +xe^{xy}) = 1-4x^3 y - ye^{xy} 

y'  = (1-4x^3 y - ye^{xy} )/(x^4 +xe^{xy})

 y' an der Stelle (x, y) = (1, 0).

y'(1,0) = (1-0-0)/(1+1*1)=1

Kürzer: statt 4x³ * y + x⁴ * y' + e^xy * (y + xy') = 1                |nach y' auflösen
direkt hier (x,y) =(1,0) einsetzen
4 * 0 + 1 * y' + e^{1*0} * (0 + 1y') = 1                
2*y'=1

y'=1/2
 

Comments

y' = (1 - 4·x^3·y - y·e^{x·y})/(x^4 + x·e^{x·y})

an der Stelle (1, 0)

y' = (1 - 4·1^3·0 - 0·e^{1·0})/(1^4 + 1·e^{1·0})

y' = (1)/(1 + 1·1) = 1/2

Wolframalpha macht davon auch eine Skizze

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E4·y+%2B+e%5E%28x·y%29+%3D+x

Answer 2

\(f(x,y)=x^4·y + e^{x·y} - x\)   

\(f_x(x,y)=4x^3·y + e^{x·y}·y - 1\)

\(f_y(x,y)=x^4+ e^{x·y}·x \)

\(f'(x)=-\frac{f_x(x,y)}{f_y(x,y)}=-\frac{4x^3·y + e^{x·y}·y - 1}{x^4+ e^{x·y}·x}\)

an der Stelle \((x, y) = (1, 0)\)

\(f'(1)=-\frac{ - 1}{1+ 1}=\frac{ 1}{2}\)