(i) L ist in jeder Menge A enthalten.
==> Für jede Menge gilt L⊆A und sowieso L⊆A
==> L⊆A ∩ L .
umgekehrt ist A ∩ L ⊆ L weil der Durchschnitt zweier Mengen
immer eine Teilmenge von jeder der beiden ist. ==>
(ii) Für jede Menge A gilt: A ∩ L = L.
Angenommen es wäre x∈L . Da es keine Universalmenge gibt,
gibt es also eine Menge A mit x∉A. ==> x∉A ∩ L
und wegen A ∩ L = L folgt x∉L. Widerspruch!
also:
(iii) L enthält keine Elemente.
Für alle x gilt x∈A ∪ L <=> x∈A oder x∈L
wegen "L enthält keine Elemente." ist x∈L immer falsch, also
x∈A oder x∈L <=> x∈A . Somit gilt :
(iv) Für jede Menge A gilt: A ∪ L = A.
Um (i) zu zeigen, nehmen wir an: Es gibt eine Menge A,
die L nicht enthält, also gibt es ein x∈L mit x∉A.
Wegen x∈L folgt x∈ A ∪ L also wegen A ∪ L = A
auch x∈A . Widerspruch!
q.e.d.
