Von koordinatenform zur normalenform

Question

Aufgabe:

2x + 3y - z = 15

Wie soll das gehen? Also das ist die koordinatenform, die man in normalenform schreiben muss. Bitte mit Erklärung

Answer 1

Hallo,

die Normalenform einer Ebene kann man schreiben als \(\left[\vec{x}-\vec{p}\right]\cdot \vec{n}\\\)

Den Normalenvektor kannst du aus der Gleichung ablesen.

\(\left[\vec{x}-\vec{p}\right]\cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}=0\\\)

Jetzt wählst du einen Punkt auf der Ebene, indem du z.B. zwei Variablen = 0 setzt, hier

x = 0 und z = 0, dann bleibt noch

3y = 15 ⇒ y = 5

Damit hast du den Punkt P (0|5|0), dessen Koordinaten du für \( \vec{p} \) einsetzt:

\(\left[\vec{x}-\begin{pmatrix} 0\\5\\0 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}=0\\\)

Gruß, Silvia

Answer 2

2x + 3y - z = 15

Wenn du die linke Seite als Skalarprodukt auffasst, kannst du sofort die allgemeine Normalenform notieren.

\( \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\vec{x}=15 \)

Für die Hessesche Normalenform musst du durch den Betrag des Normalenvektors dividieren.

\(\dfrac{1}{\sqrt{14} }\begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\vec{x}=\dfrac{15}{\sqrt{14} }\)

Für die Punkt-Normalenform musst du einen Punkt finden, der auf der Ebene liegt, z.B. (0|0|-15).

\( \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\vec{x}= \begin{pmatrix} 2\\3\\-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0\\0\\-15 \end{pmatrix}\)

:-)