Ableitung von ln(x+Wurzel(1+x^2)), ln ableiten mit Wurzel und Bruch, doppelten Bruch vereinfachen

Question

Moin!

Ich versuche die Ableitung von

Text erkannt:

\( f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) \)

zu lösen und habe dabei Probleme.

Das ist die Lösung laut Ableitungsrechner.net:

Text erkannt:

$$ \begin{array}{c} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\ln \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\right] \\ =\frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\sqrt{x^{2}+1}+x\right] \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[\sqrt{x^{2}+1}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[x]}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ =\frac{\frac{1}{2}\left(x^{2}+1\right)^{\frac{1}{2}-1} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}+1\right]+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ =\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[x^{2}\right]+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}[1]}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1 \\ \sqrt{x^{2}+1}+x \\ =\frac{\frac{2 x+0}{2 \sqrt{x^{2}+1}}+1}{\sqrt{x^{2}+1}+x} \\ \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}+1 \\ \sqrt{x^{2}+1}+x \end{array} $$
Vereinfachen/umschreiben:
\( \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} \)

Text erkannt:

\( f(x)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)

An der Lösung verstehe ich 2 Dinge nicht:

1. Muss man in der 2. Zeile die Ableitung wirklich nur mit dem Zähler des linken Bruches multiplizieren? (und ist das immer der Fall?)

2. Wie vereinfacht man die vorletzte Zeile in die letzte Zeile?

Answer 1

Es gilt;

f(x) = ln(g(x)) -> f '(x) = g'(x)/g(x)

g(x) = x+(1+x^2)^(1/2) -> g'(x) = 1+1/2*(1+x^2)^(-1/2)*2x = 1+x*(1+x^2)^(-1/2) = 1+x/((1+x^2)^(1/2))

Answer 2

1. Muss man in der 2. Zeile die Ableitung wirklich nur mit dem Zähler des linken Bruches multiplizieren? (und ist das immer der Fall?)

Ich weiß nicht, was du mit "Zähler des linken Bruches" meinst. Es wird die Kettenregel angewendet und der linke Faktor ist die äußere Ableitung, der rechte die innere.

Answer 3

1. Muss man in der 2. Zeile die Ableitung wirklich nur mit dem Zähler des linken Bruches multiplizieren? (und ist das immer der Fall?)
Nein, f(x) hat die Form f(x)=ln(g(x)) und muss mit der Kettenregel abgeleitet werden: f '(x)= \( \frac{1}{g(x)} \)·g'(x).


2. Wie vereinfacht man die vorletzte Zeile in die letzte Zeile?

Setze a=\( \sqrt{x^2+1} \). Dann steht da:

\( \frac{\frac{x}{a}+1}{a+1} \)=\( \frac{x}{a(a+x)} \)+\( \frac{1}{a+x} \)=\( \frac{x+a}{a(a+x)} \)=\( \frac{1}{a} \).  

Answer 4

Hallo,

vielleicht hilft das weiter, ohne Ableitungsrechner: