Potenzmenge von M1={{1},{1,2}} richtig bilden.

Question

Aufgabe:

Die Menge M₁={{1},{1,2}}

davon soll jetzt eine Potenzmenge gebildet werden.

Problem/Ansatz:

Meine Problematik dabei ist folgende, muss man die Menge {1,2} in diesem Fall als eine Menge betrachten und somit davon alle Teilmengen auch aufzählen oder betrachtet man es als Element und somit wäre dann |P(M₁)| = 2² also:

P(M₁) = {∅,{1},{1,2},{{1},{1,2}}

*P = Potenzmenge

Answer 1

Hallo :-)

Wie in deiner letzten Frage: Guck genau hin, was in der Menge enthalten ist. Du hast hier eine Menge, dessen Elemente eben auch wieder Mengen sind. Das ist aber vom Prinzip her egal.

Daher lautet die Potenzmenge so:

\(\mathcal{P}(M_1)=\{\{\},\{\{1\}\},\{\{1,2\}\},\underbrace{\{\{1\},\{1,2\}\}}_{=M_1}\}\)

Comments

Ja, stimmt. Das habe ich dann später auch selber gemerkt :). Die geschweifte Klammer muss man quasi doppelt hin. Aber man betrachtet also tatsächlich die Mengen in einer großen Menge als fertige Elemente und zieht diese nicht nochmal in Teilmengen auseinander.

Vielen lieben Dank.

Für die nächste Problematik wäre denke ich etwas überflüssig ein neues Thema anzufangen, deshalb frage ich im Kommentar:

was macht man denn, wenn man plötzlich so was hat und davon Potenzmenge gebildet werden soll:
{1,2}x{a}

Was beschreibt hier dieser X? Muss ich davon irgendwie das Kreuzprodukt ermitteln und dann das ganze aufschreiben oder wie funktioniert das?

---

Genau. Elemente einer Menge können beliebig kompliziert aussehen. Aber die Elemente werden bei der ,,klassischen'' Klammerschreibweise ja durch Kommas abgetrennt. Und dann haut man das einfach nur noch in die Definition rein.

\(\{1,2\}\times \{a\}\) ist das das sogenannte kartesische Produkt der beiden Mengen \(\{1,2\}\) und \(\{a\}\). Schau dazu mal in der Definition mal nach.

---

Achso, okay dann lag ich denke ich richtig:

{1,2} x {a} = {(1a),(2a)}

somit wäre dann die Potenzmenge davon:

{ ∅,{ (1a) },{ (2a) },{ (1a),(2a) } }

vielen lieben Dank noch mal für die große Hilfe!

---

Im Prinzip ist die Struktur richtig, aber falsche Schreibweise. Du hast die Kommas in den Tupeln vergessen. Richtig lautet es also jeweils:

\(\{1,2\} \times \{a\} = \{(1,a),(2,a)\}\)

und

\(\{ ∅,\{ (1,a) \},\{ (2,a) \},\{ (1,a),(2,a) \} \}\)

---

achso, Kommas bei den neu entstandenen Tupeln übernimmt man also mit. Okay nehme ich mir zur Kenntnis ;) Danke :)

---

Ja, genau. :-)

Geometrisch kannst du dir dabei jede Menge so verstellen, dessen Elemente auf jeweils einer Achse liegen. Und dann bildest du anhand dieser beiden Mengen, alle Tupel gemäß der Definition zum kartesischen Produkt.