ich benötige hierbei Hilfe

Question

Aufgabe:

Übung 6 Umrechnung von \( c \cdot a^{x} \) auf \( c \cdot e^{k x} \) Geben Sie die Gleichung der Funktion \( \mathrm{f} \) in der gleichwertigen Form \( \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{c} \cdot \mathrm{e}^{\mathrm{kx}} \) an.
b) \( f(x)=3^{2 x} \)
c) \( f(x)=4^{-0,5 x} \)
a) \( f(x)=2^{x} \)
e) \( f(x)=20 \cdot 0,5^{2 x} \)
f) \( f(x)=60 \cdot 3^{-x} \)
d) \( f(x)=200 \cdot 10^{x} \)

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir bitte jemand diese Aufgabe mit einer ausführlichen und verständlichen Rechenweg erklären ?

Ich würde nämlich dann die restlichen 10, die ich noch in dieser Art habe, alleine bewältigen.

Vielen Dank

Answer 1

Es ist

        \(k = \ln a\).

Laut Definition des Logarithmus ist nämlich

        \(\mathrm{e}^{\ln a} = a\).

Deshalb kann \(c\cdot a^x\) umgeformt werden zu \(c\cdot \left(\mathrm{e}^{\ln a}\right)^x\). Mit Potenzgesetzen kann das weiter umgeformt werden zu

    \(c\cdot \mathrm{e}^{\ln (a)\cdot x}\).

Answer 2

Zum Beispiel für b)

3^2x=e^kx. Dann gilt

3²=e^k oder 9=e^k. nach Logarithmieren ist

k=ln(9)

Comments

Könntest du bitte vielleicht alle rechnen?

Ich habe es nämlich immer noch nicht verstanden.... ich möchte es dann später nochmal üben.

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Zwei Aufgaben als Beispiele:

c) 4^-0,5x=e^kx

4^-0,5=e^k

4^-0,5=\( \frac{1}{\sqrt{4}} \)=\( \frac{1}{2} \)

\( \frac{1}{2} \)=e^k Logarithmieren:

k=ln(0,5)

e) 20·0,5^2x=20·e^kx

0,5^2x=e^kx

0,5²=e^k Logarithmieren

k=ln(0,5)

20·0,5^2x=20·e^ln(0,5)x      

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Danke... a und d habe ich aber wie würdest du die f lösen ?

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Nach Division durch 60 und Potenzieren mit \( \frac{1}{x} \) auf beiden Seiten steht

noch 3^-1=e^k oder \( \frac{1}{3} \)=e^k. Jetzt auf beiden Seiten logarithmieren.

Answer 3

Hallo,

allgemein gilt:

\( e^{(x \ln (a))}=\left(e^{(\ln (a))}\right)^{x}=\mathrm{a}^{x} \)