Wie erkläre ich, dass es sich hierbei um exponentielles Wachstum handelt?

Question

Aufgabe:

Ich soll anhand dieser Tabelle begründen das sich um ein exponentielles Wachstum handelt.

Zudem soll diese Tabelle das Wachstum eines Bakteriums dar.

\(\begin{array}{|l|c|c|c|c|} \hline t \text{ (in Wochen)} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{ Bestand } f(t) & 45 & 90 & 180 & 360 \\ \hline \end{array}\)

Problem/Ansatz:

Wie erkläre ich das es sich hierbei um exponentielles Wachstum handelt?

Answer 1

Aloha :)

Der Bestand verdoppelt sich jede Woche, daher kann man die Funktion \(f(t)\) wie folgt angeben:$$f(t)=45\cdot 2^t$$

Die Variable \(t\) steht im Exponenten, also liegt exponentielles Wachstum vor.

Du kannst das auch explizit mit der \(e\)-Funktion schreiben, indem du ausnutzt, dass sich die \(e^x\)-Funktion und die \(\ln(x)\)-Funktion gegenseitig kompensieren:$$f(t)=45\cdot e^{\ln(2^t)}=45\cdot e^{t\cdot\ln(2)}$$

Comments

Ach so also könnte man auch damit begründen, da der Bestand jede mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.

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Ja, exponentielles Wachstum liegt immer dann vor, wenn die Menge, die pro Zeiteinheit dazu kommt, von der Menge abhängt, die schon da ist. Hier hast du eine Verdopplung jede Woche, also kommt jede Woche genau die Menge dazu, die vorher schon da war. Und damit hast du dann exponentielles Wachstum.

Answer 2

Hallo,

die Wertepaare lassen sich durch f(t)=45•2^t beschreiben.

Allgemein gilt, ist die Verdoppelungszeit oder die Halbwertszeit konstant, so liegt ein exponentieller Verlauf vor.

:-)