Wie lässt sich zeigen, dass es sich hierbei um ein Minimum handelt?

Question

Aufgabe:

Hallo zusammen,

ich rechne momentan ein paar Aufgabe und bin auf diese hier gestoßen:

https://www.mathelounge.de/489945/zeigen-sie-dass-der-mittelpunkt-kritischer-punkt-funktion

Leider fehlt hier b), also zu zeigen, dass es sich hierbei um ein globales Minimum handelt.

Problem/Ansatz:

Hesse-Matrix oder kann man dies bereits sehen anhand der Funktion?

Comments

Hrsse Matrix geht gut - gerade auch mit der zitierten Lösung für a

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Gibt es auch eine andere Möglichkeit oder was meinst du mit zitiertem Ergebnis für a?

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On dem Link werden die partiellen Ableitungen 1. Ordnung berechnet. Daraus kann man die Ableitungen 2. Ordnung berechnen.

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Eine erneute Ableitung nach x_k würde doch einfach 2N ergeben oder?

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Gesucht ist ja die Hesse-Matrix. Die gemischten partiellen Ableitungen sind 0 und auf der Diagonalen steht 2N.

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Und wie lässt sich ein globales Minimum begründen?

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Die Hesse Matrix ist konstant, also unabhängig von x. Daher endet die Taylorreihe für die Funktion mit diesem Term 2ter Ordnung, der positiv definit ist.

Mit dem Vorschlag aus dem Link:

$$f(m+x)-f(x)=0.5 x^THx\geq0$$