Extremwerte der Funktion bestimmen - Handelt es sich um Minima, Maxima oder Sattelpunkt ist die Frage

Question

$$ f(x;y)=3xy-{ x }^{ 3 }-{ y }^{ 3 }\\ \\ fx=3y-3{ x }^{ 2 }\\ fy=3x-3{ y }^{ 2 }\\ \\ fxx=-6x\\ fyy=-6y\\ fxy=3\\ \\ Nun\quad möchte\quad ich\quad fx\quad und\quad fy\quad Nullsetzen\quad um\quad (Xo/Yo)\quad für\quad \quad fx({ _{  }{ x }_{ 0 }{ /_{  }{ y }_{ 0 })\quad und\quad  } }fy({ _{  }{ x }_{ 0 }/{ _{  }{ y }_{ 0 })\quad  } }zu\quad bekommen\quad da\quad es\quad Null\quad ergeben\quad soll.\\ Und\quad hier\quad kommt\quad nun\quad das\quad Problem.\quad Ich\quad bekomm\quad es\quad nicht\quad hin\quad einen\quad Zahlenwert\quad zu\quad bekommen.\\ \\ fx=3y-3x²=0\quad \quad /+3x²\\ 3y=3x²\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad /:3\\ y=x²\\ \\ Nun\quad y\quad in\quad der\quad anderen\quad Gleichung\quad durch\quad x²\quad erssetzen:\\ \\ fy=\quad 3x-3(x²)²\quad =\quad 0\\ 3x-{ 3x }^{ 4 }=\quad 0\quad \quad \quad /+3{ x }^{ 4 }\\ 3x=3{ X }^{ 4 }\quad \quad \quad \quad \quad /:3\\ x={ x }^{ 4 }\\ \\ Und\quad was\quad nun?\\ Bitte\quad um\quad Hilfe $$

Answer 1

Hi McFurok,

x = x^4  

das erlaubt zwei Lösungen. Entweder x = 0 oder x = 1

Das gilt dann auch je für y. Wir haben also die Wertepaare:

(0,0) und (1,1)

Diese überprüfe nun mit der Hesse-Matrix. Da kommst Du alleine weiter? ;)

Grüße