maxima minima und sattelpunkt

Question

f(x,y)= x^3+6xy^2-2y^3-12x

wie komm ich auf maxima minima und sattelpunkt?

Comments

bei deiner Aufgabe muß man partitiell ableiten. Einmal nach x
und einmal nach y. Falls dir dies nicht geläufig ist kann ich
weiteres einstellen.

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und wie gehts dann weiter?

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geht dann heute nachmittag weiter.

Answer 1

Hi,
bilde die erste und zweite Ableitung der gegebenen Funktion.

Comments

ok wie geht es dann weiter

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Die erste Ableitung \( = 0 \) setzen und die quadratische Gleichung lösen. Dann die gefundenen Werte in die zweite Ableitung einsetzten und schauen ob der sich ergebende Wert \( < 0 \) oder \( < 0 \) wird, dann liegt ein Maximum oder Minimum vor. Solltest Du aber alles in der Schule schon gehabt haben.

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müsste ich nicht fx fxx fy fyy bilden also partiell ableiten

und mir daraus die werte ausrechnen

wie komm ich auf den sattelpunkt?

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Hi, Du hast natürlich Recht, da hab ich einfach nicht richtig hingeschaut und Blödsinn geschrieben, sorry.

Also der Gradient muss 0 sein, dass gibt die möglichen Extremwerte. Wenn die Hesse-Matrix positiv oder negativ definit ist, dann liegt ein Minimum oder Maximum vor.

Ist die Hesse Matrix indefinit liegt ein Sattelpunkt vor.

Ein Beispiel für Indefinitheit ist hier zu finden

http://www.relativityhair.de/wolfgang.salzmann/wikisave/Definitheit_von_Matrizen.pdf

Answer 2

f ( x , y ) = x³ + 6xy² - 2y³ - 12x

fx ´= 3*x^2 + 6y^2 - 12
fy ´= 12xy - 6y^2

Punkte mit waagerechter Tangente in beide Richtungen

3*x^2 + 6y^2 - 12 = 0
12xy - 6y^2  = 0 
---------------------
12xy = 6y^2
12x = 6y
x = 0.5y

3*(0.5y)^2 + 6y^2 = 12
0.75y^2 + 6y^2 = 12
6.75y^2 = 12
y = 4/3
y = -4/3

12x(4/3) - 6(4/3)^2  = 0 
16x - 96/9 = 0
x = 2/3
( 4/3 | 2/3 )

12x(-4/3) - 6(-4/3)^2  = 0 
-16x - 96/9 = 0
x = - 2/3
( -4/3  | -2/3 )

fx ´´= 6*x
fy ´´= 12x - 12y

( 4/3 | 2/3 )
fx ´´( 4/3 )= 6*4/3  = 24/3
fy ´´= 12*4/3 - 12*2/3 = 24/3
Beides positiv, Tiefpunkt

( -4/3  | -2/3 )
fx ´´( -4/3 )= 6*(-4/3)  = -24/3
fy ´´= 12*(-4/3) - 12*(-2/3) = -24/3
Beides negativ, Hochpunkt