Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Du warst etwas zu schnell mit dem Abspalten des \((n+1)\)-Faktors aus dem Produkt. Wir brauchen zur Verwendung der Induktionsvoraussetzung im Nenner \((n+k)\), haben aber \((n+1+k)\). Daher empfehle ich als ersten Schritt eine Indexverschiebung:
$$\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{1}{n+1+k}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+1+(k-1)}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$$
Das kannst du so umformen, dass die Induktionsvoraussetzung angewendet werden kann:$$=\left(1+\frac{1}{n+(n+2)}\right)\left(1+\frac{1}{n+(n+1)}\right)\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}$$Die vorderen beiden Faktoren wurden von der oberen Index-Grenze abgleitet. Um den Index bei \(k=1\) beginnen zu lassen, brauchen wir den letzten Faktor. Nun wird die Induktionsvoraussetzung eingesetzt:$$=\left(1+\frac{1}{n+(n+2)}\right)\left(1+\frac{1}{n+(n+1)}\right)\left(2-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}$$
Das sieht erstmal fürchterlich aus, aber wenn wir jeden dieser 4 Faktoren als einen Bruch schreiben, fällt das alles in sich zusammen$$=\frac{2n+3}{2n+2}\cdot\frac{2n+2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n+3}{n+2}=\frac{2n+4-1}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}\quad\checkmark$$
