rechnenregeln für cosinus und sinus. bestimmen sie die nullstellen

Question

ich habe folgende Aufgabe an der ich hänge. Evtl kann mir einer helfen.

Verwenden sie zunächst die Rechenregeln für den Sinus und den Cosinus, um folgende Funktionen zu vereinfachen. Bestimmen sie anschliessend jeweils alle Nullstellen.

a)  f(x)=x²+cos²(-x-2pi)+cos²(x-pi/2)-10

b) f(x)=sind(pi/2-2x) - cos²(x) + sin² (x) +2 ln (2x)

c) f(x)= -sin(-3x) - sin (2x) * (-sin (x-pi/2)) - cos (2x) sin (x-18pi) - 3 cos (x)

Bei Aufgabe a weiß ich das der cos um 2 pi periodisch ist und somit doch cos² (-x-2pi) wegfallen muss. cos² (-x) fällt dann doch weg da ich es spiegeln kann oder?

Ich denke am Ende wird cos + sin übrig bleiben was 1 als Ergebnis ergibt. Allerdings kann ich hier keine wirkliche Formel anwenden. Ich kann die Terme nach einander weg bringen aber wie bitte schreibt man das zusammenhängend auf?

cos(pi/2) ist doch das gleiche wie sin (x) oder?

Auch bei der Aufgabe b wird aus sin (pi/2-2x) dann cos (2x)?

Bei c müsste doch aus dem sin (x-18 pi) sin (x) bleiben oder?

Ich kann immer ein wenig bei den Aufgaben weg bekommen aber auch nach anschauen der ganzen Cos und sin Formeln im Netz habe ich keine passende gefunden um hier weiter zu kommen.

und vor allem was meinen die mit Nullstellen bestimmen? Wenn ich bei Aufgabe a doch zb 1 raus habe?

Vielleicht könnt ihr mir helfen.

Vielen Dank ;-)

Answer 1

zu a)

f(x)=x²+cos²(-x-2π)+cos²(x-π/2)-10

= x²+cos²(x)+sin²(x)-10 = x² + 1 - 10 = x²-9

und die Nullstellen davon sind x_1,2=±3

Comments

vielen dank erstmal für deine Antwort.

Ich dachte ich kürze die Aufgabe soweit das ich am Ende cos+sin da stehen habe und das schliesslich 1 ist?

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Wie meinst du?

kannst du deinen Rechenweg aufschreiben?

cos^2+sin^2=1 aber du hast ja noch ein x^2 und die -10 da stehen

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und zur b)

f(x)=sin(pi/2-2x)-cos^2(x)+sin^2(x)+2ln(2x)

sin(pi/2-2x)=cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)

-> f(x)=cos^2-sin^2-cos^2+sin^2+2ln(2x) = 2ln(2x)

und der wird 0 bei x=1/2

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Uih da hab ich mir das wohl zu einfach gemacht und x² übersehen.

Kannst du mir einen Tipp geben wie ich das richtig aufschreibe? Also falls meine Überlegungen überhaupt richtig sind. Von wegen das cos² (-x-2pi) weg fällt weil cos 2 pi periodisch ist. das cos²(x) bleibt ja dann übrig und fällt ja dann aufgrund von Spiegelung weg oder? cos pi/2 ist doch das gleiche wie sin(x) oder?

Ich weiss leider nicht wie ich das alles mathematisch richtig aufschreibe, also so das man meinen Rechenweg dahinter versteht. Kannst du mir da helfen.

Danke ;-)

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Hm..

also ich würde halt jeden Schritt begründen,

also z.B. beim Sinus. Der sin(x-π/2) ist ja sinx um π/2 nach rechts verschoben.. Somit sind sämtliche Punkte des verschobenen Sinus mit dem cos identisch..

Mit den Additionstheoremen weiß man ja auch dass cos^2+sin^2=1 ergibt..

Jetzt muss man nur noch kombinieren und hat seine vereinfachte Funktion..

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okay, vielen Dank dafür.

Ist das denn dann bei Aufgabe c) richtig das aus sin(x-18pi) nur der sin (x) bleibt?

dieses sin(x-pi/2) wird ja wieder zum cos. Kann ich dann sin(2x) und cos(2x) wieder zu sin² +cos² machen?