Begründen Sie ! EIgenwerte/orthogonale Matrix/Diagonalmatrix

Question

Aufgabe:

Es sei

A =

7	3
3	7

.

a) Berechnen Sie die EIgenwerte und jeweils einen zugehörigen Eigenvektor von A.

b) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix C so, dass C^T *A*C eine Diagonalmatrix ist .

c) Begründen Sie, dass x^TAx >0 für alle x ∈ ℝ² ohne{0} gilt .

Problem/Ansatz:

Aufgabe a und b habe ich schon gelöst, habe aber leider keine Erklärung für c .

Könnt ihr mir dabei helfen ?

Answer 1

Hallo:-)

Entweder du setzt mal Vektoren \(x\neq 0\) ein und rechnest es nach, dass stets \(x^T\cdot A\cdot x>0\) gilt. Oder du benutzt folgende Aussage, aber nur, wenn du sie kennst:

Für symmetrische Matrizen \(A\in \mathbb{R}^{n\times n}\) gilt: \(A\) ist positiv definit genau dann, wenn alle Eigenwerte von \(A\) strikt positiv sind, d.h. \(\lambda_i>0\) für alle \(i=1,...,n\).

Comments

Danke für deine Hilfe !

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Sehr gerne. :-)