Gibt es einen Punkt P auf der Kante/Strecke BC, so dass die Strecken AP und PG orthogonal sind?

Question

Aufgabe:

Der Karton hat die Maße (x-richtung 8 dm (diagonal), y-richtung 12 dm (waagerecht) und z-richtung 4dm (senkrecht)).

Gibt es einen Punkt P auf der Kante/Strecke BC, so dass die Strecken AP und PG orthogonal sind?

Problem/Ansatz:

Hier habe ich erstmal anhand der Zeichnung rausbekommen, das die Koordinaten von A(0/0/0), B(8/0/0),C (8/12/0) und G(8/12/4) sind.

Dann habe ich nach dem Punktprodukt/Punktmultiplikation der Vektoren eine Gleichung versucht aufzustellen, obwohl p fehlt. Px1 steht für die x-koordinate des punktes Ps, px2 für die y-koordinate und px3 für die z-koordinate

AP*PG--> (p-a)*(g-p)

das eingesetzt: (px1-0)*(8-px1)+(px2-0)*(12-px2)+(px3-0)*(4-px3)= 0  dann habe ich es gekürzt auf

                        px1*(8-px1)+px2*(12-px2)+px3*(4-px3)=0

jetzt habe ich aber das problem, dass ich nicht weiterkürzen kann um das ganze nachher nach px1,px2 und px3 aufzulösen.

Habt ihr eine Ahnung davon?

Answer 1

Hallo,

ich nenne die gesuchten Koordinaten x, y und z.

x(8-x)+y*(12-y)+z*(4-z)=0       (*)

Du hast ja noch eine Bedingung; nämlich P soll auf BC liegen.

Also [x,y,z] = [8,0,0] + r•[0,12,0] mit 0≤r≤1.

--> x=8, y=12r und z=0

(*) → 12r•(12 - 12r) =0 → r=1, y=12

P(8|12|0), also P=C.

Probe:

AP=[8,12,0]

PG=[0,0,4]

AP•PG=0

:-)