Berechne die Abmessungen, den Rauminhalt und die Oberfläche jenes Zylinders, der das größte Volumen hat

Question

Aufgabe:

Einem Drehkegel (R,H) werden Drehzylinder (r,h) eingeschrieben. Berechne die Abmessungen, den Rauminhalt und die Oberfläche jenes Zylinders, der das größte Volumen hat

Problem/Ansatz:

Ich habe bis jetzt die Hauptbedingung und die Nebenbedingung.

HB: V=r^2*pi*h

NB: H/R=(h-H)/r

Weiter bin ich aber leider nicht gekommen. Ich würde mich also freuen wenn mir jemand helfen könnte.

Answer 1

HB: V=r^2*pi*h

NB: H/R=(h-H)/r wohl eher so H/R=(H-h)/r ==>  r = R(H-h) / H = R/H * ( H-h) 

einsetzen bei V gibt

V = (  R/H * ( H-h))^2 * pi * h

  = pi*(R/H)^2 ( H - h ) ^2 * h

 =  pi*(R/H)^2 ( H^2 -2Hh+h^2 ) * h

=  pi*(R/H)^2 ( h*H^2 -2Hh^2+h^3 ) 

Ohne den konstanten Faktor betrachte V1(h) = h*H^2 -2Hh^2+h^3

mit V1'(h) = H^2 - 4Hh + 3h^2 gibt h=H/3 oder H=h .

Letzteres führt zum Volumen 0, ist also wohl das

Minimum. Also ist V_max bei h=H/3.