Ist eine Matrix singulär für jeden ihrer Eigenwerte?

Question

Hallo,
ich habe eine kurze Verständnisfrage.

Ist eine Matrix singulär für jeden ihrer Eigenwerte?
Denn eine Matrix ist ja singulär, wenn ihre Determinante Null ist. Und die Eigenwerte sind ja die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, welches die Determinante ist.
Das würde ja bedeuten, dass eine Matrix singulär ist, wenn sie Eigenwerte besitzt, für das das charakteristische Polynom Null ist.

Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? :D

Answer 1

Hallo:-)

Ich denke beim Anfang, machst du den Fehler. Du meinst wohl die Matrix \(A-\lambda\cdot I_n\), die man für eine Matrix \(A\in \mathbb{K}^{n\times n}\) aufstellt, um an die Eigenwerte von \(A\) mittels char. Polynom zu kommen. Dafür rechnest du nun von \(P_A(\lambda):=\det(A-\lambda\cdot I_n)\) die Nullstellen \(\lambda_1,...,\lambda_n\) aus. Für diese Werte ist die Matrix \(A-\lambda\cdot I_n\) nicht invertierbar, also singulär.

Denn ist gilt ja dann im Umkerschluss nun für alle \(i=1,...,n\)

\(P_A(\lambda_i)=\det(A-\lambda_i\cdot I_n)=0\).

Allgemein also: Eine quadratische Matrix, die keine Inverse besitzt, wird singuläre Matrix genannt.

Comments

Vielen Dank! Stimmt, ich habe an die falsche Matrix gedacht