Das mit dem Limes so zu machen gibt es nur bei der klein O-Natation (o). Die kannst du aber auch benutzen, denn wenn f∈o(g) gilt, dann gilt auch f∈O(g).
Für f∈o(g) musst du n→∞limg(n)f(n)=0 zeigen.
Dann hast du
g(n)f(n)=n+(log(n))2100⋅n+log(n)=1+n(log(n))2100+nlog(n)⟶n→∞100=0
Damit gilt schonmal nicht f∈o(g).
Bleibt nun die Groß O-Notation.
Dafür gilt diese Definition:
Es sei g : N→R. Dann istO(g) : ={f : N→R : ∃α>0 ∃n0∈N ∀n≥n0 : 0≤f(n) ∧f(n)≤α⋅g(n)0≤f(n)≤α⋅g(n)}
Für f∈O(g) musst du per Definition eine Konstante α>0 und eine Stelle n0∈N angeben, sodass für alle n≥n0 die Ungleichung 0≤f(n)≤α⋅g(n) gilt. Entweder sieht man sofort, wie beide Parameter gewählt werden müssen oder du probierst erstmal rum. Ich nehme folgende Abschätzungen vor: Welche Basis hier der Logarithmus annimmt ist vom Prinzip egal. Ich nehme hier mal den 10er-Logarithmus.
0<100≤n≥1f(n)=100⋅n+log(n)≤100⋅n+100⋅log(n)≤n≥10100⋅n+100⋅log(n)⋅log(n)=100⋅n+100⋅(log(n))2=100⋅(n+(log(n))2)=100⋅g(n)
Für α=100 und n0=10 gilt für alle n≥10 die Ungleichung
0≤f(n)≤α⋅g(n), d.h. es gilt f∈O(g).