Zeigen Sie, dass p(A) = 0 ∈ M2(K) gilt.

Question

Sei K ein Körper, und sei A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)  . Sei
δ:=det(A)=ad−bc,

s:=Spur(A):=a+d und sei p:=X²−sX+δ∈K[X].
Zeigen Sie, dass p(A) = 0 ∈ M₂(K) gilt.

Wir haben mit einem neuen Thema angefangen aber ich komme damit überhaupt nicht zurecht.

Hat jemand eine Idee und könnte mir beim bearbeiten helfen kann mir keine Minuspunkte bei meinem Übungsblatt erlauben.:(

Answer 1

Hallo :-)

Du musst deine Matrix \(A\) und alle samt den gegebenen Größen in das Polynom \(P(X)=X^2-s\cdot X+\delta\cdot I_2\) einsetzen.

Comments

Danke für die Antwort sorry wenn ich das jetzt nicht ganz verstanden habe aber ich habe jetzt das hier raus aber daraus werde ich nicht schlau

P[X]= X² -(a+d) • X + ad- bc • I₂

---

Du sollst doch einfach nur das ausrechnen:

\(P(A)=\underbrace{\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}^2}_{=A^2}-\underbrace{(a+d)\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}}_{=s\cdot A}+\underbrace{(a\cdot d-b\cdot c)\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}_{=\delta\cdot I_2}\)

---

Ich habe als Ergebnis \( \begin{pmatrix} 0& 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \)

---

Genau! Und das solltest du auch zeigen. Du bist also fertig mit der Aufgabe.