Warum sind Z[x] und K[x, y] ZPE Ringe?

Question

Aufgabe:

Warum sind Z[x] und K[x, y]  ZPE Ringe? Könnte das jemand kurz und knapp in eigenen Worten erklären?

Answer 1

\(\mathbb{Z}\) und \(K[X]\) sind euklidische Ringe,

also auch Hauptidealringe.

Hauptidealringe sind faktoriell (ZPE-Ringe).

Nach dem Lemma von Gauß sind Polynomringe faktorieller Ringe wieder faktoriell.,

also sind \(\mathbb{Z}[X]\) und \(K[X,Y]=(K[X])[Y]\)

faktoriell (ZPE-Ringe).

Comments

Polynomringe sind laut def euklidisch richtig?

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So kann man das nicht sagen, sondern es geht darum, dass

es hier eine Gradfunktion \(\deg\) gibt mit der

Eigenschaft:

Seien \(a,b\) Elemente des Ringes, so gibt es ein Element \(q\)

und ein Element \(r\) (sog. Rest) im Ring, so dass

\(b=a\cdot q + r\), wobei \(\deg(r)< \deg(a)\) gilt.

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ok dank dir :D

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Polynomringe sind laut def euklidisch richtig?

Das hängt vom Koeffizientenring ab.

Ist K ein Körper so ist K[x] euklidisch

ℤ[x] ist aber zB nicht euklidisch.

Es gilt

R faktoriell => R[x] faktoriell

Und

R Körper => R euklidisch => R HIR => R faktoriell

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Z.B. ist \(\mathbb{Z}[X]\) nicht euklidsich,

ja nicht einmal ein Hauptidealring, wie das Ideal \((2,X)\) zeigt.

Ah, sehe gerade, dass das mein Vorkommentator gerade

geschrieben hat.

Answer 2

Man kann die Elemente addieren und miteinander

multiplizieren und die Ergebnisse sind wieder

in der Menge drin. Und die üblichen Gesetze

(Assoziativ, Distributiv) gelten auch.

Comments

Gilt das nicht für jeden beliebigen Ring?

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Das "ZPE" hatte ich glatt überlesen.