Für die gesamte Aufgabe ist sehr wichtig zu wissen, welche Form die Elemente des Polynomrings P[X] haben. Ich spreche nun immer als obiger Form davon. Außerdem wird stillschweigend in meinen Tipps immer wieder Φ(a) = a verwendet und dass Φ ein Ringhomomorphismus ist.
1) Eine Richtung kannst du zu zeigen, indem du obige Form verwendest und ein induktives Argument. Die andere Richtung ist wirklich sehr leicht.
2)Für die Rückrichtung machst du dir klar was deg(Φ(X)) = 1 für das Polynom Φ(X) bedeutet (welche Form besitzt es). Durch Umformungen (wichtig ist hier, dass der Leitkoeffizient invertierbar ist) kannst du dann X ∈ Im(Φ) und damit die Surjektivität zeigen. Für die Injektivität zeigst du mittels obiger Form und deg(Φ(X)) = 1 , dass ker(Φ)=0 (wichtig ist, dass deg(f*g)=deg(f)+deg(g) und deg(f+g)=max(deg(f),deg(g)) für deg(f)≠ deg(g) gilt).
Für die Hinrichtung nimmst du an deg(Φ(X)) ≠ 1. Für <1 findest du einen Widerspruch zur Injektivtät und für >2 zur Surjektivität. Der Widerspruch zur Surjektivität wird ähnlich hergeleitet, wie der Beweis der Injektivität in der Rückrichtung.
