Polynome mit alternierenden Vorzechen haben nur positive Nullstellen

Question

Aufgabe:

Sei p ∈ R[t] ein Polynom, dass über R in Linearfaktoren zerfällt. Zeigen Sie die
Äquivalenz der folgenden beiden Aussagen:

(a) Alle Nullstellen von p sind größer gleich Null.
(b) Die Koeffizienten von p haben alternierende Vorzeichen, d.h. sie sind abwechselnd ≥ 0 und ≤ 0.

Zeigen Sie damit, dass man die Bedingung A ≥ 0 für A ∈ Herm(C) durch nur m
polynomiale Bedingungen an die Koeffizienten von A ausdrücken kann.
(Zum Vergleich die Bedingung an die Hauptminoren entspricht 2^m polynomialen
Bedingungen an die Koeffizienten von A.)

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre mit Descarts Vorzeichen Regel, jedoch komme ich damit nicht zurecht.

Answer 1

Descartes Regel ist schon die richtige Idee.

Von (b) nach (a):

Betrachte p(-x), das hat gar keine Vorzeichenwechsel, die Anzahl positiver Nullstellen von p(-x) ist Null, entsprechend ist die Anzahl negativer Nullstellen von p(x) Null. Da p(x) über R zerfällt, hat es nur positive Nullstellen.

Von (a) nach (b):

p(x) = c (x+a1) ..... (x+an), wobei alle ai negativ sind

https://de.wikipedia.org/wiki/Elementarsymmetrisches_Polynom

dann siehst du, dass von Koeffizient zu Koeffizient das Vorzeichen wechseln muss.

Comments

Zeigen Sie damit, dass man die Bedingung A ≥ 0 für A ∈ Herm(C) durch nur m
polynomiale Bedingungen an die Koeffizienten von A ausdrücken kann.

Für diesen Teil der Frage:

Da die hermetische Matrix nur positive Eigenwerte hat, sind alle Nullstellen des charakteristischen Polynoms größer gleich 0. Was meint man mit "m polynomiale Bedingungen"? Sind das die Koeffizienten, die alternieren. Und ist die Frage mit dem ersten Teil dann nicht schon beantwortet?