x und d in Ungleichung mit Betrag. d bestimmen, dass folgende Lösungsmenge entsteht

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie \( d \in \mathbb{R}^{+} \) so, dass die Ungleichung

\( \frac{x+d+18}{2} \leq|x+25|-16 \)

die Lösungsmenge \( \mathcal{L}=(-\infty,-d] \cup[d,+\infty) \) besitzt.

Antwort:
\( d= \)

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst alles wieder auf eine Seite gebracht. Und dann eine Fallunterscheidung gemacht, wegen dem Betrag.

Dabei habe ich nach x bzw. d umgeformt. War mir da unsicher.

Ich habe folgendes raus:

0<= |x+25|-16+\( \frac{x+d+18}{2} \)

Für x<0, also  -(x+25)-16+\( \frac{x+d+18}{2} \)

habe ich   -23-d<=x bzw. 23-x<=d

Für x>=0, also  |x+25|-16+\( \frac{x+d+18}{2} \)

habe ich  -18-d<=x bzw.-18-x<=d

Ich weiß, dass es jeweils bei -18 bzw. 23 zu 0 wird. Bringt mir das was? d kann ja nur eine Zahl sein

Oder was mach ich falsch?

Answer 1

\(\frac{x+d+18}{2} \leq|x+25|-16 \)

Du musst x<-25 und x≥-25 untersuchen.

\(\frac{x+d+18}{2} \leq|x+25|-16 \)

x+d+18≤2|x+25|-32

x+d+50≤2|x+25|

x≥-25

x+d+50≤2(x+25)

x+d+50≤2x+50

d≤x

x<-25

x+d+50≤-2(x+25)

x+d+50≤-2x-50

d≤-3x-100

3x+100≤-d

3x≤-d-100

x≤(-d-100)/3

Nun sollen die Intervallgrenzen den gleichen Betrag d haben, also

d=-(-d-100)/3

3d=d+100

2d=100

d=50

Comments

Danke für den Tipp! Das Ergebnis habe ich auch so.

Aber was kann ich daraus schließen; was ist jetzt mein d?

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d=50 ist der gesuchte Wert.

:-)

Answer 2

Der erste Fehler liegt darin, daß du beim "auf eine Seite bringen" links den Bruch subtrahierst und rechts addierst...das kann nicht funktionieren. Ansonsten bekommst du d<=x bzw. -d>=3x+100

Comments

Ich bin für jede Korrektur bzw. Berichtigung dankbar. Ist das denn nur der falsche Ansatz gewesen oder ist sowas allgemein nicht möglich bzw. falsch?

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Der Ansatz war ok, es war nur eben der Rechenfehler in der ersten Zeile.......

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Sorry, hatte grad einen Denkfehler. Klar!