Bestimme Menge aller Punkte in denen f stetig ist

Question

Aufgabe:

Bestimme Menge aller Punkte in denen f stetig ist

ƒ : ℝ² → ℝ

f(x,y) = { (x² + y²) arctan(\( \frac{1}{x - y} \)) falls x ≠ y

f(x,y) = { 0 falls x = y

Problem/Ansatz:

Nun, ich würde sagen, dass isoliert betrachtet f in x=y und x=/=y stetig ist. Nun würde ich die kritische Stelle überprüfen und gucken ob die Funktion für x=/=y gegen den Funktionswert an der kritischen Stelle konvergiert.
Aber hier ist dies ja keine einzelne Stelle? Das wäre ja eher eine Gerade durch den Ursprung.

Mal abgesehen davon, wüsste ich nicht wie ich das nachprüfen soll. Wenn x=y wäre, würde der arctan gegen π/2 streben, aber was bringt mir das wenn x und y beliebig sind?

Answer 1

Wenn x=y wäre, würde der arctan gegen π/2 streben, und der Faktor davor gegen 2x^2,

also z.B. für x=y=1 gegen 2 und damit wäre der Grenzwert der Funktion 2*π/2 = π≠0.

Somit wären Grenzwert der Funktion und Funktionswert verschieden, also f bei (1;1)

jedenfalls nicht stetig. Das ist wohl bei allen Punkten mit x=y so, außer x=y=0,

da ist auch der GW 0, also f stetig bei (0;0).