Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen bei 3 gegebenen Winkel?

Question

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Aufgabe 11
Burkhard hat bei ornithologischen Beobachtungen (Ornithologie [griechisch] \( \triangleq \) Vogelkunde) eine Nisthöhle in einem Baumstamm entdeckt. Zur Bestimmung der Höhe der Nisthöhle darf er sich dem Baum nicht zu weit nähern, da diê
Vögel in der Brutphase sind. Er bestimmt deshalb den Höhenwinkel \( \alpha=15^{\circ} \), nähert sich dem Baum um \( x=10 \mathrm{~m} \) und ermittelt den neuen Höhenwinkel
\( \beta=25^{\circ} . \) Seine Skizze verdeutlicht dies.
a) Berechne die Hōhe der Nisthōhle über dem Erdboden. Bestimme dazu zunăchst die Lănge der Strecke y.
b) Wie weit war Burkhard bei seiner ersten Messung rom Baumstamm entfernt?

Aufgabe:

Leider kann ich keine Formel finden wie sich die Seiten eines rechtwinkligen Dreieck errechnen lassen, wenn nur die Winkel gegeben sind und eine andere Möglichkeit sehe ich nicht diese zu errechnen. Wie würdet ihr vorgehen ?

Lg

Answer 1

$$(1)\quad\dfrac{y}{\sin(15^\circ)}=\dfrac{10}{\sin(180^\circ-15^\circ-(180^\circ-25^\circ))}$$

$$\Rightarrow\quad y=\dfrac{10\cdot\sin(15^\circ)}{\sin(10^\circ)}.$$

$$(2)\quad\sin(25^\circ) = \dfrac{h}{y}$$

$$\Rightarrow\quad h = \dfrac{10\cdot\sin(15^\circ)\cdot\sin(25^\circ)}{\sin(10^\circ)}.$$Das ist die Höhe des Nistkastens unter Beachtung der Aufgabenstellung in a).

Answer 2

Löse das System:

(1) tan(15°)=\( \frac{h}{x+10} \)

(2) tan(25°)=\( \frac{h}{x} \)

Answer 3

nähert sich dem Baum um \( x=10 \mathrm{~m} \) und ermittelt den neuen Höhenwinkel\( \beta=25^{\circ} . \)

Entfernung zum BAum sei jetzt \(d\) und die Höhe der Nisthöle sei \(h\). Dann ist

(1)        \(\tan \beta = \frac{h}{d}\)

Er bestimmt deshalb den Höhenwinkel \( \alpha=15^{\circ} \),

(2)        \(\tan \alpha = \frac{h}{d+10}\)

Löse das Gleichungsystem.

Answer 4

Hallo,

zwei Gleichungen aufstellen , x sei dis Höhe zur Nisthöhle

tan 15° = \( \frac{x}{(10+b)} \)

tan 25° =\( \frac{x}{b} \)

beide nach x umstellen und gleichsetzen

tan 15° *(10+b) = tan25° *b         nun nach b auflösen

2,67949 = 0,19835 b   b = 13,50m

Höhe der Nisthöhle tan 15° =x/ 23,5  oder tan 25° =x /13,5 

                                      x = 6,2968                         x = 6,2951

          die Nisthöhle ist rund 6,3 m vom Boden entfernt

b) die Strecke von A zum Fußdes Stammes ist 10+13,5 = 23,5m

Comments

Wenn f fragt  Wie würdet ihr vorgehen ?   so impliziert das doch nicht "unter Umgehung der in der Aufgabenstellung angegebenen Vorgehensweise" so wie ihr drei das macht, sondern es wird doch wohl eine Lösung gesucht sein, die zuerst y berechnet und darauf dürfte sich die Frage beziehen.