Kurvendiskussion von f(x) = x^2*ln(x)

Question

Ich habe eine Klausuraufgabe aus dem Jahr 2011 zur Kurvendiskussion, bei der ich einige Schwierigkeiten habe. Die Aufgabe lautet:

Bestimmen Sie von der folgenden Funktion den Definitionsbereich, die Nullstellen, die relativen Extrema und Wendepunkte. Untersuchen Sie auch die Monotonie und die Krümmung.

f(x)= x^2 * ln(x)

Einen ruhigen Abend wünsche ich :)

Answer 1

Hi,

Definitionsbereich:

x>0

 

Nullstellen:

x^2*ln(x) = 0

--> x = 1 (denn ln(1) = 0 und x^2 = 0 mit x = 0 ist verboten)

 

Extrema:

Ableiten: f'(x) = 2xln(x)+x = 0 = x(2ln(x)+1)

2ln(x)+1 = 0 oder x = 0, wobei letzteres ohnehin nicht erlaubt ist.

ln(x) = -1/2

x = e^{-1/2}

Überprüfen mit zweiter Ableitung (spar ich mir):

Tiefpunkt bei T(e^{-1/2}|-1/(2e))

 

Wendepunkt:

f''(x) = 2ln(x)+3 = 0

ln(x) = -3/2

x = e^{-3/2}

Überprüfen mit der dritten Ableitung (spar ich mir):

Wendepunkt bei T(e^{-3/2}|-0,075)

 

Monotonie und Krümmung überlasse ich vollens Dir. Hast ja Extremum und Wendepunkt und musst nur noch die Intervalle zuordnen.

Grüße

Comments

Danke sehr für die ausführliche Rechnung :)  Da f '' (x) > 0 ist, muss doch eine Linkskrümmung vorliegen oder irre ich mich? Bei der Monotonie habe ich leider keinen Ansatz.

---

Die zweite Ableitung ist nicht generell >0. Deswegen haben wir ja einen Wendepunkt.

Nach dem Wendepunkt haben wir eine Linkskrümmung, zuvor eine Rechtskrümmung.

---

Ich habe da wohl falsch gedacht. Ich habe gerade im Netz gelesen, dass man beim Krümmungsverhalten entscheiden soll, ob die Funktion konkav oder konvex gekrümmt ist.

---

Das ist dasselbe ;).

linksgekrümmt ist auch unter "konvex" bekannt.

---

Dann lag ich wohl doch nicht so falsch :))

Bei der Monotonie habe ich denke ich auch einen Lösungsansatz gefunden.

Die Ableitung muss ja hierfür gleich Null gesetzt werden und dann erhält man in diesem Fall x= e^-0,5 .

Nun muss man doch einen links und einen rechts von dem berechneten Wert liegenden Punkt in die erste Ableitung einsetzen:

links vom Wert: f'(0,2) >0 also monoton fallend für x< e^-0,5

rechts vom Wert: f' (1) <0 also monoton steigend für x> e^-0,5

Insgesamt muss die Funktion streng monoton steigen, da man ja x^2 in der Funktion hat. Ich hoffe mal, dass die Überlegung richtig ist :-)

---

Bis zum letzten Absatz passt es.

Ob da jetzt x^2 dabei ist oder nicht, hat nichts mit strenger Monotonie zu tun?! Da ist relevant, dass es keinen Wert f'(x)=0 gibt. Das ist ja nur bei Extrema und Sattelpunkten der Fall. Wir haben nur ein Extremum und wenn man das ausklammert haben wir strenge Monotonie vorliegen.

---

Danke für die Hilfe, jetzt hab ich es verstanden wenn so etwas in der Klausur vorkommt ist es kein Problem mehr ich hatte immer Schwierigkeiten bei Monotonie- und Krümmungsverhalten jetzt sollte das mal ein Ende finden :)

---

Für Monotonie immer Extrema im Auge behalten und für Krümmungsverhalten die Wendepunkte ;).

Gerne