Binomialkoeffizient umrechnen (Diskrete Mathe)

Question

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Aufgabe \( 7-7 \) [Schriftliche Ausarbeitung] Sei \( n \in \mathbb{N}_{0} \). Berechnen Sie
$$ \sum \limits_{i=0}^{n}\left(\begin{array}{c} i \\ i-2 \end{array}\right) . $$
Achten Sie bitte auf eine saubere Formulierung. Sofern dies für Sie brauchbar ist, dürfen Sie das Wissen \( \sum \limits_{i=0}^{n} i^{2}=1 / 6 \cdot n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1) \) ohne Beweis verwenden. Achten Sie aber bitte darauf, dass alle Behauptungen bewiesen werden, sofern Sie nicht aus der VO bekannt sind oder auf Basiswissen aus der Schule beruhen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\phantom{=}\sum\limits_{i=0}^n\binom{i}{i-2}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{i}{i-(i-2)}=\sum\limits_{i=0}^n\binom{i}{2}=\sum\limits_{i=0}^n\frac{i(i-1)}{2}=\sum\limits_{i=0}^n\frac{i^2}{2}-\sum\limits_{i=0}^n\frac{i}{2}$$Mit Hilfe des Tipps und der Gauß-Summe \(\sum\limits_{i=0}^ni=\frac{n(n+1)}{2}\) aus der Schule gehts weiter:$$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\frac{1}{2}\cdot\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)}{12}\left((2n+1)-3\right)$$$$=\frac{n(n+1)(2n-2)}{12}=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$$