Binomialkoeffizient mit Rekursionsformel

Question

Aufgabe: Die Binomialkoeffizienten, d. h. die Einträge im Pascalschen Dreieck, gehorchen der Rekursionsformel:$${n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}= { n \choose k}$$ Verifizieren Sie diese Gleichung mittels der Definition der Binomialkoeffizienten.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass nx(n-1) = n! ist, aber das bringt mich nicht weiter.

Ansatz: (2n - 2/2k - 1) = (n/k) -> (2n - 2/2k -1) = (n/k)

für die Hilfe.

Answer 1

Es gilt nach Definition des Binomialkoeffizienten:

\(\begin{pmatrix} n-1 \\ k-1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n-1 \\ k \end{pmatrix} \\= \frac{(n-1)!}{(k-1)!*(n-1-(k-1))!}+\frac{(n-1)!}{k!\cdot (n-1-k)!} \\= (n-1)!\cdot (\frac{1}{(k-1)!\cdot (n-k)!} + \frac{1}{k!\cdot (n-1-k)!}) \\=(n-1)!\cdot (\frac{k}{k!\cdot (n-k)!} + \frac{n-k}{k!\cdot (n-k)!}) \\= (n-1)!\cdot (\frac{n}{k!\cdot (n-k)!}) = \frac{n!}{k!\cdot (n-k)!} = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}\)