Wie genau muss man R(t) messen, um t bei 0 °C auf 1 mK genau auflösen zu können?

Question

Aufgabe:

Hallo ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und brauche einen Ansatz um weiterrechnen zu können.

Die Aufgabe lautet :

Gegeben sei für ein Platin-Widerstandsthermometer die folgende Widerstandkennlinie:

R(t) = 100,0396 Ω ⋅ (1 + 0,00391/°C ⋅ t −6⋅10-7/°C² ⋅ t²)

Wie genau muss man R(t) messen, um t bei 0 °C auf 1 mK genau auflösen zu können?

Problem/Ansatz:

Ich habe den Tipp erhalten, dass ich die erste Ableitung brauche aber ich verstehe einfach nicht wieso ich die Ableitung dafür brauchen sollte. Was hat die damit zu tun.

Es handelt sich eigentlich nur um eine reine Verständnisfrage, da ich nicht verstehe was die Steigung der Kennlinie mit der Frage zutun haben sollte. Außerdem verwirrt mich in der Frage die Formulierung "t bei 0° C auf 1 mKelvin auflösen zu können". Was heißt das?

Answer 1

Aloha :)

Da zufällige Messfehler klein sind, reicht es, sie in linearer Näherung zu betrachten (vgl. GUM JCGM 100:2008):

$$\frac{\Delta R}{\Delta t}\approx\frac{dR}{dt}=\frac{d}{dt}\left(100,0396\,\Omega\,\left(1+\frac{0,00391}{1^\circ\mathrm C}\,t-\frac{6\cdot10^{-7}}{1^\circ\mathrm C^2}\,t^2\right)\right)$$$$\phantom{\frac{\Delta R}{\Delta t}}=100,0396\,\Omega\,\,\left(\frac{0,00391}{1^\circ\mathrm C}-\frac{12\cdot10^{-7}}{1^\circ\mathrm C^2}\,t\right)$$

Speziell bei \(t=0\) gilt:$$\frac{\Delta R}{\Delta t}\approx100,0396\,\Omega\,\,\left(\frac{0,00391}{1^\circ\mathrm C}\right)=0,391155\,\frac{\Omega}{^\circ\mathrm C}\implies\Delta R\approx0,391155\,\frac{\Omega}{^\circ\mathrm C}\,\Delta t$$

Damit \(\Delta t=0,001\,^\circ\mathrm C\) beträgt, brauchen wir als Genauigkeit der Widerstandsmessung$$\Delta R\approx0,391155\,\frac{\Omega}{^\circ\mathrm C}\cdot0,001^\circ\mathrm C=0,000391155\,\Omega=0,391155\,\mathrm m\Omega\approx391\mu\Omega$$

Die Messgenauigkeit des Widerstandes muss also \(0,391\,\mathrm m\Omega\) bzw. \(391\,\mu\Omega\) betragen.