Extremstelle bestimmen f

Question

Im Folgenden muss ich die Extremstelle von f bestimmen

f(x) = (x+2)⁴

Ich glaube ich muss mithilfe der Kettenregel die erste Ableitung bestimmen, komme dann aber nicht mehr weiter.

u(x) = x⁴

u´(x) = 4x³

v (x) = x+2

v´(x) = 1

f´(x) = 4 (x+2)

Weiß ich nicht ob das richtig ist.

Ich denke, wenn ich einmal den kompletten Lösungsweg sehe kann ich die restlichen Aufgaben alleine lösen.

Answer 1

f(x) = \( (x+2)^{4} \)

f´(x) =4• \( (x+2)^{3} \)•1

4• \( (x+2)^{3} \)=0

\( (x+2)^{3} \) = 0

x=-2     f(-2) = 0

Art des Extremwerts:

f´´(x) =12• \( (x+2)^{2} \)

f´´(-2) =12• \( (x+2)^{2} \)=0

f´´´(x) =24• (x+2)=24x+48

f´´´(-2) =24• (-2+2)=0

f´´´´(x) =24>0 Minimum

Answer 2

Richtig wäre nach deinen Vorbereitungen:

f'(x) = 4 (x+2)^3

Die Ketenregel wird dafür eigentlich nicht benötigt, nicht einmal die erste Ableitung.

Answer 3

Hallo,

du hast eine Kleinigkeit bei der Ableitung vergessen, richtig ist

f(x) = 4(x + 2) ^3

Gruß, Silvia

Answer 4

Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung

f(x)=(x+2)^4

Substitution (ersetzen) z=1*x+2 abgeleitet z´=dz/dx=1

f(z)=z^4 abgeleitet f´(z)=4*z^(4-1)=4*z³

f´(x)=z´*f´(z)=1*4*(x+2)³=4*(x+2)³

f´(x)=m=0=4*(x+2)³ Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder b=0 oder a=b=0

0=(x+2)³  ist Null,wenn 0=1*x+2  → x=-2 ist ein Minimum

überprüfen,ob Maximum oder Minimum

f´´(x)=12*(x+2)²  → x=-2    f´´(-2)=0  → kein Ergebnis

f´´´(x)=24*(x+2) → x=-2  → kein Ergebnis

f´´´´(x)=24>0  → Minimum

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~plot~(x+2)^4;[[-5|2|-2|10]];x=-2~plot~